finitud y primeras oraciones de la orden

Question

Vamos a considerar un conjunto de oraciones $T$ y una firma de $\sigma$. He demostrado (usando el teorema de compacidad) que cuando se $T$ ha arbitraria grandes modelos que también una infinita modelo. Ahora hay varias consecuencias de esta declaración, pero tengo problemas para la formulación de la conexión a la statemant arriba.

• La finitud no es de primer orden caracterizables, yo.e no hay ningún conjunto de oraciones $T$ tal que $M$ $T$- modelo si y sólo si $M$ es finito.

En mi opinión esto es una consecuencia directa debido a $T$ también ha infinte modelos, por lo tanto, la finitud de $M$ no es condición suficiente ser un $T$-modelo.

• El infinito no es caracterizables a través de una sola frase, yo.e no hay sentencia $\phi$ tal que $M$ $\{\phi\}$- modelo si y sólo si $M$ es infinito.

No sé cómo voy a discutir aquí.

Answer 1

En cuanto a tu primer punto, estás en lo correcto.

Para, supongamos que hay un conjunto de oraciones $T$ (a partir de ahora, quiero hablar de una teoría). A continuación, $T$ ha arbitrariamente grande finito de modelos, pero no infinito modelo. Esto se contradice con el resultado que ha obtenido.

Para el segundo, supongamos $M \models \phi$ fib $M$ es infinito. Entonces, ¿qué podemos decir acerca de la teoría de la $T = \{\neg \phi\}$ compuesto sólo de la negación de la $\phi$?

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Cuando se trata con una determinada teoría de la $T$ (por ejemplo, la teoría de grupos), se puede seguir una estrategia similar para demostrar que (esencialmente) de la misma se mantienen los resultados para los modelos de $T$:

El uso de Compacidad, podemos demostrar que $T \cup \{\neg\phi_n:n \in \Bbb N\}$ (donde $\phi_n$ es el estándar "que hay en la mayoría de las $n$ elementos distintos" frase) es constante, es decir, que $T$ admite infinitos modelos, desde el hecho de que arbitrariamente grande finito de modelos de $T$ existen.

De forma análoga al primer punto, podemos demostrar que "ser un modelo finito de $T$" no es de primer orden axiomatisable.

Finalmente, se demuestra que no hay una sola frase axiomatising infinito $T$-modelos. Supongamos $\phi$ eran de una sola de las frases que expresan "ser infinito modelo de $T$". A continuación, $T \cup \{\neg \phi\}$ es de primer orden axiomatisation de "ser un modelo finito de $T$", que había demostrado ser imposible.