Demostrar que una función convexa es Lipschitz

Question

Estoy tratando de mostrar que si es convexo en $f$ $(a,b)$ es Lipschitz en $[c,d]$ donde $a \lt c \lt d \lt b$.

Aquí es lo que tengo hasta ahora:

Que $t_1,t_2 \in \mathbb{R}$ tal que $a \lt t_2 \lt c \lt d \lt t_1 \lt b$y que $x_1,x_2 \in [c,d]$.

Porque $f$ es convexo sé que $$\dfrac{f(c)-f(t_2)}{c-t_2} \lt \dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \lt \dfrac{f(t_1)-f(d)}{t_1-d}$ $

Creo que estoy casi allí, pero ¿qué es la derecha $C$?

Answer 1

Sólo deje que $C$ ser el máximo del valor absoluto de las funciones de la extrema izquierda y extrema derecha de las desigualdades, es decir:

$$C = \max \left\{\left|\dfrac{f(c)-f(t_2)}{c-t_2}\right|, \left|\dfrac{f(t_1)-f(d)}{t_1-d}\right|\right\}$$