¿$\int_\Omega F(u_n)\to0$ implica $\int_\Omega F(au_n)\to 0$ $a\in [0,\infty)$?

Question

Deje $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ ser un almacén de dominio y $F:[0,\infty)\to [0,\infty)$ ser convexo, estrictamente creciente y continua en función de la satisfacción de $F(0)=0$. Supongamos que $u_n\in L^\infty(\Omega)$ (medida de Lebesgue) es una secuencia de no negativo funciones de satisfacciones $$\int_\Omega F(u_n)\to0$$

Puedo concluir que por cada $a\in [0,\infty)$ el siguiente convergencia es cierto: $$\int_\Omega F(au_n)\to 0$$

Observación 1: la Convexidad y $F(0)=0$ implica que el$F(ax)\leq aF(x)$$a\leq 1$, por lo tanto el único caso que debe tratar es el caso de la $a>1$.

Actualización 1: En las circunstancias descritas morada, $u_n\to 0$ en la medida. Tal vez esto te pueda ayudar...

Gracias

Answer 1

Usted puede llegar a la conclusión de que sin el extra de la suposición de que $F(a x) / F(x)$ es delimitada como $x \to \infty$.

Supongamos que hay una secuencia $\{x_n\}$ tal que $$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{F(x_n)}{F(x_n)} = \infty. $$ Definir $u_n(t) = x_n\chi(t)$ donde $\chi$ es la función característica de un conjunto de medida $1/F(a x_n)$. Entonces $$ \int_\Omega F(u_n) = \frac{F(x_n)}{F(x_n)} \to 0 $$ pero $$ \int_\Omega F(a u_n) = \frac{F(x_n)}{F(x_n)} = 1. $$ Así que, mientras $F$ está acotada por un polinomio de que funcione, pero por ejemplo, $F(x) = e^x - 1$ falla.