"Los espacios vectoriales" sobre un campo de desviación son gratuitos?

Question

¿Están los módulos libres en un campo de desviación?

Es decir, si$F$ es un skewfield entonces cualquier módulo$M$ puede escribirse como$\underset{i \in I}{\bigoplus} F$ para algún conjunto de indexación$I$?

Answer 1

Sí, el mismo de la prueba como de costumbre obras. Si $V$ es un espacio vectorial sobre un sesgo de campo $F$, $V$ tiene un subconjunto linealmente independiente maximal $B$ (Lema de Zorn). Es un set de generación de energía: Si $v \in V$, entonces cualquiera de las $v \in B$ y hemos terminado, o $B \cup \{v\}$ es linealmente dependiente (por maximality). Desde $B$ es linealmente independiente, de la siguiente manera $\lambda v \in \langle B \rangle$ algunos $\lambda \in F \setminus \{0\}$, por lo tanto (desde $\lambda$ es invertible!) $v \in \langle B \rangle$.

Sólo en el último paso usamos ese $F$ es un sesgo de campo. Para otros anillos de la prueba se rompe. Por ejemplo, el conjunto vacío es un subconjunto linealmente independiente maximal de la $\mathbb{Z}$-módulo de $\mathbb{Z}/2$, pero por supuesto que no es un set de generación de energía.