Hay un campo de ecuación que se puede reducir a los tres sabores de giro (cero, uno, uno a la mitad)?

Question

Hay una partícula conocida ecuación de campo de una forma similar $$ \begin{equation} (\Gamma^n \pi_n)^2 \Psi = (mc)^2 \Psi \tag{1} \end{equation} $$ tal que, al reducir el número de grados de libertad para el spinor $\Psi$ en un spinor de menos grados de libertad, como un escalar $\psi_0$, dos, tres vectores $\boldsymbol{\psi}_\pm$ o de dos vectores $\boldsymbol{\phi}_\pm$, reduce la Eq. 1 en cualquiera de ...

• un giro cero de la ecuación de campo $$ \begin{equation} \pi^n \pi_n \psi_0 = (mc)^2 \psi_0, \tag{2} \end{equation} $$
• una vuelta un campo ecuación $$ \begin{equation} (I\pi_0\pm i \boldsymbol{\pi} \times) (I\pi_0\mp i \boldsymbol{\pi} \times) \boldsymbol{\psi}_ \pm = (mc)^2 \boldsymbol{\psi}_ \pm \tag{3} \end{equation} $$
• o un spin 1/2 campo ecuación $$ \begin{equation} (I\pi_0\pm\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}) (I\pi_0\mp\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}) \boldsymbol{\phi}_\pm = (mc)^2 \boldsymbol{\phi}_\pm? \tag{4} \end{equation} $$

En estas expresiones $\pi_n$ es el componente de cuatro impulso operador que incluye la electromagnético de cuatro interacción potencial $A_n$ con la partícula de carga de la $q$ escrito como $$ \begin{equation} \pi_n = i\hbar \partial_n - q A_n , \tag{5} \end{equation} $$ y $$ \begin{equation} \boldsymbol{\pi} = -i\hbar \boldsymbol{\nabla} - q \boldsymbol{A} \tag{6} \end{equation} $$ utiliza la negrita para indicar un euclidiana del vector, específicos a los 3 componentes. El tres dos-por-dos matrices $\boldsymbol{\sigma}$ en Eq. 4 son los Pauli Spin Matrices.

Answer 1

El conocido wavefunctions para escalar, spin-1/2 y campos vectoriales seguir a partir de la teoría unitaria de las representaciones del grupo de Poincaré. Especialmente la teoría de la representación (la palabra clave aquí es Mackey máquina) y son casos especiales de un general de la función de onda que un ser escrita en la forma

$$Q(p)\psi = \psi$$

donde $Q(p)$ es una proyección del operador.

Dado un subgrupo $K$ de una mentira grupo $G$ que puede inducir a un unitaria rep $G$ a través de un único representante de $K$ (también llamado el "pequeño grupo") por el siguiente: Tomar una decisión más o menos arbitraria (no unitarios) representante de $G$, $D(g)$ cuya restricción a $K$, $D(k)$, es unitaria. A continuación construiremos un unitaria rep $G$, U(g), con

$$U(g)\psi(c) = D(g)\psi(cg)$$

donde $c\in C = G/K$ es un elemento del derecho a la coset espacio.

Ahora a por la de Lorentz/Poincaré caso de que el pequeño grupo es $SU(2)$ y el coset espacio son los estímulos, es decir, los ímpetus. Por lo tanto el de arriba nos dice que dado un número finito de dimensiones representante del grupo de Lorentz que es unitaria en $SU(2)$, podemos tener un continuo unitario representante del grupo de Lorentz, que es el campo $\psi(p)$ y que debe obedecer a la filial condición

$$Q(p)\psi(p) = 0$$ (esto es lo que se llama la ecuación de onda)

y la transformación de la ley

$$(U(\Lambda)\psi)(p) = \psi'(p) = D(g)\psi(p') = D(g) \psi(\Lambda^{-1}p)$$

los proyectores $Q(p)$ para los casos comunes son:

escalar: trivial $\psi'(p) = \psi(\Lambda^{-1}p), p^2\psi = m^2\psi$ (KG)

spin $1/2$: $Q(p) = \frac{1}{2m}(\gamma^\mu p_\mu + m)$, $(\gamma^\mu p_\mu-m)\psi = 0$ (dirac)

vector: $Q(p) = g^\mu_\nu - \frac{p^\mu p\nu}{m^2}$, $p_\mu A^\mu = 0$(proca)

Para un genérico de spin $j$ obtenemos el Bargmann Wigner ecuación

$$(\gamma^\mu p_\mu - m)_{\alpha_r\alpha'_r}\psi_{\alpha_1\dots\alpha_r\dots,\alpha_{2j}} = 0, r=1\dots2n$$

Una buena referencia en este

Niederer, U. H. y O'Raifeartaigh, L. Realizaciones de la central Unitaria de las Representaciones de la no homogeneidad del Espacio-Tiempo de los Grupos II. Covariante Realizaciones del Grupo de Poincaré

las partes I y II