Expectativa de una integral estocástica

Question

Sea$M$ una martingala local derecha-continua,$s,t$ dos veces (tiempos de parada, si lo desea). ¿En qué condiciones se cumple lo siguiente:

ps

Mi suposicion es:

Se mantiene cuando:$$E\left(\int_s^t X \, dM\mid\mathcal{F}_s\right)\le 0$

Pero no tengo ni idea por dónde empezar ...

[Esto no es tarea]

Answer 1

Si $M$ es una martingala y $X$ está correctamente integrable, entonces

$$I_t := \int_s^t X(r) \, dM_r, \qquad t \geq s$$

define una martingala y, en consecuencia,

$$\mathbb{E} \left( \int_s^t X(r) \, dM_r \mid \mathcal{F}_s \right) = \mathbb{E}(I_t \mid \mathcal{F}_s) = I_s =0$$

para cualquier $t \geq s$. Ahora, si $M$ es una martingala local y $X$ localmente integrable, entonces existe una secuencia de tiempos de parada $(\tau_n)_n$ tal que

$$I_{t}^{\tau_n} := \int_s^{t \wedge \tau_n} X(r) \, dM_r$$

es una martingala. Por lo tanto,

$$\mathbb{E} \left( \int_s^{t \wedge \tau_n} X(r) \, dM_r \mid \mathcal{F}_s \right) = 0.$$

Como $\lim_{n \to \infty} I_t^{\tau_n} = I_t$, esto nos deja con la pregunta de si podemos aplicar algunos "Fatou-como" la argumentación, es decir, si

$$\mathbb{E} \left( \int_s^{t} X(r) \, dM_r \mid \mathcal{F}_s \right) \leq \limsup_{n \to \infty} \mathbb{E} \left( \int_s^{t \wedge \tau_n} X(r) \, dM_r \mid \mathcal{F}_s \right) = 0.$$

Obviamente, esto funciona si el teorema de convergencia dominada es aplicable; que es

$$\sup_{n \in \mathbb{N}} \left| \int_s^{t \wedge \tau_n} X(r) \, dM_r \right| \in L^1(\mathbb{P}).$$

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Tenga en cuenta que podemos, en general, no se espera que la declaró desigualdad se cumple sin más supuestos en $X$ o $M$. Considerar, por ejemplo,$X=1$, luego

$$\mathbb{E}\left( \int_s^t X \, dM \mid \mathcal{F}_s \right) \leq 0 \Leftrightarrow \mathbb{E}(M_t \mid \mathcal{F}_s) \leq M_s$$

es decir, la desigualdad se cumple si $M$ es un supermartingale.