En un anillo euclidiano, ¿podríamos demostrar que irreductible implica directamente directamente?

Question

En una UFD, la primacía y la irreductibilidad son equivalentes. En particular, cada anillo euclidiano que es un dominio integral es un UFD.

Mi pregunta es la siguiente: ¿es posible probar que "irreducible implica prime" directamente (quiero decir sin invocar "Euclidean implica PID implica UFD").

Answer 1

Parece más eficiente concluir que "irreducible implica primo" después de mostrar ED implica PID. Allí es fácil ver que un nonprime está contenido adecuadamente en otro ideal propio, de donde se puede ver que el nonprime no es irreducible.