Por lo tanto, sé que cada grupo abeliano (comutativo)$G$ es tal que, para cualquier subgrupo$H$, los cosets de la izquierda de$H$ en$G$ son los cosets correctos. Supongo que esto es cierto incluso si$G$ no es abelian, pero$H$ es (pero no estoy seguro). ¿Es esto suficiente para caracterizar el subgrupo como abeliano, o hay ejemplos de subgrupos no abelianos con esta propiedad?
Respuestas
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Kristopher Johnson
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Los cosets izquierdos de$H$ son iguales que los cosets correctos de$H$ si y sólo si$H$ es un subgrupo normal de$G$. Hay grupos no abelianos cuyos subgrupos son normales, por ejemplo el grupo de cuaternión de orden$8$.
Para un subgrupo de un grupo, la condición de ser abelian no es ni necesaria ni suficiente para ser normal:
Si $G$ no es abelian, a continuación, $H=G$ es normal, pero no abelian subgrupo. Como otro ejemplo, la alternancia de grupo es una normal, pero no abelian subgrupo del grupo simétrico.
Para un contraejemplo en el converse dirección, considere la posibilidad de la libre grupo con dos generadores. El subgrupo generado por uno de los generadores es abelian (isomorfo a $\mathbb Z$) pero no es normal. (Esto significa que su conjetura anterior es incorrecto.)
