Límite superior en$n(1-x)^n$ en términos de$n$ y$x$

Question

Mi problema específico:

Para$x\in(0,1),$ fijado, me gustaría saber el$n$ que tiene que ser en términos de$x$ de manera que$n(1-x)^{n-2}\leq \tfrac{1}{5}.$

Creo que esto se puede lograr usando algún límite superior en$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}n(1-x)^{n-2}=0$, pero no he encontrado ninguno que esté lo suficientemente apretado. Por ejemplo, el$n(1-x)^n$ enlazado no ayudará aquí. ¡Gracias de antemano por tu ayuda!

Answer 1

Una solución en términos de LambertW es$y=1-x$ $ Ejemplo$ny^{n-2}=\frac{1}{5}\,$, entonces$n.$ Comprobar: con$$n = \frac{W_0(\frac{1}{5}y^2\ln y)}{\ln y}.$% Obtiene$x=0.75$ y con$n > 0.01272241834262.$ los números son$n_1=0.0127\,$

Editar : La otra rama real$n_1(1-x)^{n_1-2} \approx 0.19965\,$ dará un límite superior para$n_2=0.0128\,$ con el valor$n_2(1-x)^{n_2-2} \approx 0.20120$ para el ejemplo$W_{-1}$ % #% Y con$n$ obtiene$n\approx 4.1953616\,$

Answer 2

Primero de todo, no hay realmente ninguna razón para tener el $1-x$, usted puede hacer todo de nuevo con $n y^n$, ya que el $f(x)=1-x$ es un bijection de $(0,1)$ a sí mismo.

Ahora para tener $y^n < \delta$, es suficiente para tener $n>\frac{\ln(\delta)}{\ln(y)}$. Usted necesita $\delta=\varepsilon/n$. Así que usted necesita en principio $n>\frac{\ln(\varepsilon) - \ln(n)}{\ln(y)}$. El apretado solución a esto implica que la función W de Lambert.

Sin embargo, nos puede dar una respuesta que no es firme, en términos de funciones elementales. Como un lema, demostrar que $n^{1/2}>\ln(n)$. (Esto no es difícil: el mínimo de $n^{1/2}-\ln(n)$ se produce en $n=4$, y por lo que es suficiente para demostrar $2>\ln(4)$, que es la misma como la demostración de $e>2$.) A continuación, mediante la sustitución de la $\ln(n)$$n^{1/2}$, es suficiente para tomar $n$ más grande que todas las soluciones a

$$x+\frac{x^{1/2}}{\ln(y)}-\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(y)}=0.$$

La solución es más grande

$$x=\left ( \frac{1}{2} \left ( -\frac{1}{\ln(y)} + \left ( \frac{1}{\ln(y)^2}+\frac{4\ln(\varepsilon)}{\ln(y)} \right )^{1/2} \right )\right )^2.$$

Tenga en cuenta que todo es sensiblemente definido proporcionado $0<\varepsilon,y<1$. Para comprobar, si $\varepsilon$ es tan pequeño que el término medio es despreciable, entonces se obtienen esencialmente $\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(y)}$ como se esperaba. (He hecho un error que no se pudo esta comprobación anterior.)