Está bien, esto puede sonar estúpido pero necesito un poco de ayuda... ¿Qué significan $\Large \frac{d}{dx}$ y $\Large \frac{dy}{dx}$?
Necesito una explicación detallada. Gracias.
El símbolo $$ \frac{dy}{dx} $$ significa la derivada de $y$ con respecto a $x$. Si $y = f(x)$ es una función de $x$, entonces el símbolo se define como $$ \frac{dy}{dx} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}. $$ y esto es (de nuevo) llamado la derivada de $y$ o la derivada de $f$. Nótese que de nuevo es una función de $x$ en este caso. Nótese que aquí no definimos esto como $dy$ dividido por $dx$. Por sí solos $dy$ y $dx$ no tienen ningún significado (aquí). Tomamos $\frac{dy}{dx}$ como un símbolo por sí mismo que no puede ser dividido en partes.
El símbolo $$ \frac{d}{dx} $$ puedes considerarlo como un operador. Puedes aplicar este operador a una función (diferenciable). Y obtienes una nueva función. Entonces, si $f$ es una función (diferenciable) para la cual tiene sentido "aplicar" $\frac{d}{dx}$ a $f$ y escribir $$ \frac{d}{dx}f $$ Si escribes $y = f(x)$, entonces esto es lo mismo que $$ \frac{d}{dx}y = \frac{dy}{dx}. $$
La confusión a menudo surge del hecho de que muchos escritores llaman a $dy/dx$ un "símbolo" como si fuera atómico, pero luego comenzar a hacer álgebra con él. Esto lleva a la pregunta, "entonces, ¿qué es realmente $dy$?"
@Fixee: Eso es correcto. A menudo veo esta confusión, por eso siempre enfatizo que $\frac{dy}{dx}$ es solo un símbolo. No es una fracción.
$d f$ significa el diferencial de la función $f$. Por definición $(df)(x) = \lambda t\in\mathbb{R}:f'(x)\cdot t$. En otras palabras, el diferencial es la función lineal (de una variable adicional denotada como $t$ aquí) cuya recta tangente es la derivada de $f$.
$d$ solo significa el operador diferencial (una función del argumento $f$).
Ejercicio: Demuestra que $\frac{df}{dx}=f'$.
Tenga en cuenta que $\frac{F}{G}$ está definida para dos funciones $F$ y $G$ como $\frac{F}{G}(x)=\frac{F(x)}{G(x)}$. Por lo tanto, $\frac{df}{dx}$ tiene sentido.
Me gusta verlo de esta manera: $dx$ y $dy$ son simplemente representaciones del cambio de acuerdo con el eje $x$ o $y$. Si tomamos el símbolo de la derivada $$\frac{dy}{dx}$$ y lo comparamos con la fórmula para la pendiente: $$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$$ podemos ver claramente que $dy$ y $dx$ representan el cambio en $y$ y el cambio en $x$ respectivamente.
Si $y=f(x)$, es decir, donde $y$ es la ecuación (la variable dependiente) y $x$ es la variable independiente. Significa que $x$ cambia $y$.
Ahora $\frac{dy}{dx}$ significa diferenciar la ecuación $y$ con respecto a $x$.
$\frac{d}{dx}$ significa diferenciar con respecto a $x$.
De la misma manera, $\log x$ significa encontrar el logaritmo natural de $x$, $\frac{d}{dx} x$ significa encontrar la derivada de $x$.
N.B. En una ecuacion $k= h²+5 $, $\frac{dk}{dh}$ significa diferenciar la ecuación $k$ con respecto a $h$. No siempre es $\frac{dy}{dx}$.
Espero que comprendas
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Esto no es cálculo previo, es cálculo. Estos símbolos son derivadas. ¿Estás familiarizado con las derivadas?