¿Por qué$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$ también es cierto cuando$x=-1$ lo convierte en$i$?

Question

R: Si:$$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$ $ sólo cuando$x,y>0$,

B: Entonces, ¿por qué puedo hacer esto:

ps

Que viola A ya que$$\sqrt{-4}=\sqrt{4\times-1}=\sqrt{4}\sqrt{-1}=2i$

C: ¿Pero por qué no puedo hacer esto?

ps

Lo cual sigue el mismo razonamiento que B.

Answer 1

Tenemos$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$ si y sólo si$-\pi < \arg x + \arg y \le \pi$, donde$\sqrt x$ denota la raíz cuadrada principal y$\arg x$ denota el argumento principal. Vea esta respuesta para más detalles.

Si$x$ y$y$ son números positivos, entonces$\arg x + \arg y = 0 + 0 = 0$, por lo que la identidad se mantiene.

En su caso B ,$\arg(4) + \arg(-1) = 0 + \pi = \pi$, por lo que la identidad aún se mantiene.

En su caso C ,$\arg(-1) + \arg(-1) = \pi + \pi = 2\pi$, por lo que la identidad falla.