Integral en diferentes sistemas de coordenadas

Question

En el libro de electrodinámica de Griffiths, utiliza la ecuación, $$\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0 \mathbf{J},$$ para afirmar que $$\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}'-\mathbf{r}|}\mathrm{d}\tau'.$$ Esto se justifica, por supuesto, por el hecho de que cada componente cartesiana de $\mathbf{A}$ obedece a la ecuación de Poisson, según la primera ecuación.

Pero luego pasó a decir que para evaluar la integral estás restringido a usar coordenadas cartesianas porque esa fue nuestra suposición al derivar la segunda ecuación de la primera. (4ª edición, página 244, nota 19).

Esto me parece un error. Por lo que puedo imaginar, el valor de la integral es independiente del sistema de coordenadas que utilices.

Answer 1

Tu intuición es correcta en cuanto a que deberías poder utilizar esta fórmula en cualquier sistema de coordenadas. De hecho, es de suponer que has hecho problemas con el potencial escalar donde tienes una fórmula similar que puedes evaluar en cualquier sistema de coordenadas. Sin embargo, hay que tener más cuidado a la hora de definir lo que se quiere decir con esta integral en el caso vectorial en sistemas de coordenadas generales, y creo que Griffiths quiere evitar enfrascarse en esas sutilezas, por lo que emite una advertencia que quizá esté redactada con demasiada fuerza.

Pero sigamos adelante de todos modos. Empezando por la ecuación que has escrito

\begin{equation} \mathbf{A}(\mathbf{r})=\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}

Esto no es súper útil tal como está, porque implica la integral de un vector. En la práctica siempre acabas calculando integrales de escalares. Así que el primer paso es convertir esta integral vectorial en tres integrales escalares.

Por ejemplo, una de las integrales escalares es

\begin{equation} A_x = \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{e}}_x=\hat{\mathbf{e}}_x\cdot\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' = \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot{\hat{\mathbf{e}}_x}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau'= \int \frac{J_x(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}

El paso clave es el último, que parece muy inocente pero que en realidad es bastante complicado. La cuestión es que el vector unitario $\mathbf{\hat{e}}_x$ es una constante, por lo que aunque empezamos evaluándola en la coordenada del observador $\mathbf{r}$ somos libres de "mover" el vector unitario a la coordenada de origen $\mathbf{r}'$ y así podemos realizar fácilmente el producto punto entre el vector unitario y la corriente. Este es el paso que se complica si se intenta hacer las cosas en otros sistemas de coordenadas.

Como ejemplo donde las cosas se ponen peliagudas, vamos a intentar evaluar las cosas en coordenadas esféricas, por lo que queremos calcular $A_r,A_\theta,A_\phi$ .

Por lo tanto, intente calcular $A_r$ . Necesitamos $\hat{\mathbf{e}}_r$ por lo que podemos puntear con $\mathbf{A}$ . Sin embargo, $\hat{\mathbf{e}}_r$ es no una constante. Su magnitud es siempre 1, pero su dirección depende de dónde se encuentre en el espacio (explícitamente, $\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{R})=\frac{\mathbf{R}}{|\mathbf{R}|}$ ). Queremos evaluar $A_r$ en la coordenada del observador $\mathbf{r}$ por lo que, de forma similar, queremos evaluar $\hat{\mathbf{e}}_r$ en el punto $\mathbf{r}$ .

Teniendo esto en cuenta, repasamos los pasos que hicimos en el espacio cartesiano

\begin{equation} A_r = \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})=\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})\cdot\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' = \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot{\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation}

Pero ahora \begin{equation} \mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot{\hat{\mathbf{e}}_r}(\mathbf{r})\neq J_r(\mathbf{r'}) \end{equation}

En su lugar, hay que escribir \begin{equation} \mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}) = J_r(\mathbf{r}') \hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r'})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}) + J_\theta(\mathbf{r}') \hat{\mathbf{e}}_\theta(\mathbf{r'})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})+ J_\phi(\mathbf{r}') \hat{\mathbf{e}}_\phi(\mathbf{r'})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}) \end{equation}

Espero que puedas ver que esto se va a convertir en un verdadero dolor.

Por supuesto, se pueden evaluar los productos punto explícitamente utilizando la geometría (por ejemplo, $\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r})\cdot\hat{\mathbf{e}}_r(\mathbf{r}')=\cos\theta$ si $\phi=\phi'$ ), y te quedará una suma de tres integrales por hacer (ten en cuenta que ahora necesitas hacer tres integrales para evaluar $A_r$ uno de los tres componentes de $\mathbf{A}$ !). Hay algunos trucos que puedes intentar utilizar; por ejemplo, puedes elegir tus coordenadas de origen de forma que las integrales que necesitas hacer sean lo más agradables posible, y también tienes cierta libertad de calibre que puedes intentar utilizar para ayudar a simplificar las cosas.

Sin embargo, nunca sugeriría hacer nada de lo anterior en la práctica (a menos que te encuentres en una situación con mucha simetría en la que puedas reducir todos los productos de puntos a algo muy simple). Sólo trato de ser explícito para ilustrar lo que sucede. A nivel de Griffiths, lo mejor es calcular las componentes cartesianas del potencial vectorial $A_x,A_y,A_z$ . Si alguna vez necesita el componente radial $A_r$ puede construirlo a partir de $A_x,A_y,A_z$ de la forma habitual.

Por último, sólo quiero señalar que aunque lo más sencillo es calcular el Componentes cartesianos $A_x,A_y,A_z$ Las integraciones reales de los componentes pueden realizarse en cualquier sistema de coordenadas. En otras palabras, al evaluar

\begin{equation} A_x = \ \int \frac{J_x(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}d \tau' \end{equation} donde $J_x=\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\hat{\mathbf{e}_x}$ es libre de utilizar cualquier coordenada para $\mathbf{r}'$ que te gusta evaluar la integral. Las sutilezas tienen que ver con los vectores base, una vez que has elegido un vector base apropiado y has formado una integral escalar, eres libre de usar cualquier sistema de coordenadas que quieras para evaluar la integral, sin sutilezas ocultas sobre el caso del potencial escalar normal (es decir, electrostático).

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(Esto estaba en la respuesta original, lo he movido aquí abajo para no interrumpir el flujo de lo anterior).

Si usted realmente quieren saber cómo calcular $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ (o $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ ) en coordenadas esféricas, sin pasar por las cartesianas, la forma "correcta" de hacerlo es en términos del vector armónico esférico. Hay una buena cantidad de maquinaria adicional sofisticada (¡pero interesante!) que se necesita, por lo que explicarla va más allá del alcance de esta respuesta, pero si estás interesado consulta Jackson, 3ª edición, secciones 5.6 y 9.7, o las secciones sobre la expansión multipolar vectorial y la ecuación de helmholtz inhomogénea en las notas de clase de Fitzpatrick http://farside.ph.utexas.edu/teaching/jk1/Electromagnetism/Electromagnetism.html o el artículo de la wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_spherical_harmonics .

Answer 2

La integral se deduce del uso de una función de Green para el vector laplaciano; esa función de Green no depende del sistema de coordenadas. La integral puede derivarse en cualquier sistema de coordenadas.

El problema aquí es más bien práctico: el vector $A(r)$ puede expresarse en términos de una base de campos vectoriales -en particular, los valores de esos campos base en el punto $r$ . El gran problema es con el $r'$ partes de la integral: la mayoría de los enfoques para hacer integrales que dan lugar a vectores como respuesta final utilizan una base fija (por ejemplo, cartesiana) de modo que la integral se descompone en integrales escalares multiplicadas por vectores de base fija.

Answer 3

No tengo este libro a mano, así que no sé cómo se deriva allí. Pero supongo que la fórmula integral proviene del enfoque de la función de Green para resolver una ecuación de Poisson. Sin embargo, hasta donde yo sé, el método de la función de Green funciona para la ecuación de Poisson normal, es decir, la función desconocida es un escalar en lugar de un vector A como aquí. Para obtener la ecuación integral, podríamos pensar en la 1ª ecuación como tres ecuaciones de Poisson para las componentes cartesianas, y ensamblar las soluciones a las tres ecuaciones de Poisson en un vector de nuevo. Sin embargo, para este propósito las coordenadas que no sean cartesianas no funcionan.

En cuanto a si existe alguna fórmula integral homóloga adecuada para todos los sistemas de coordenadas... Espero las respuestas de los demás.