Resolución de PDE en el dominio finito

Question

Dada la PDE, $\Delta u=x$ en la región de $x^2+y^2<1$. Y $\frac{\partial u}{\partial r}=y$$x^2+y^2=1$. Se supone que debo encontrar todas las soluciones.

La única maquinaria sé para encontrar soluciones en dominios acotados es la separación de variables. Pero yo sólo sé cómo hacer la separación de variables para homogénea problemas. Así que he encontrado la solución a $\Delta u=0$$u(x,y)=y$. Pero no está claro cómo extender esto a la no homogeneidad del caso. (Esto equivale a la solución de $\Delta u=x$$\frac{\partial u}{\partial r}=0$)

Tal vez hay algunos de transformación que convierte a $\Delta u=x$ a de Laplace de la ecuación? Gracias.

Answer 1

Un enfoque va como sigue. Primero, hacer que la condición de contorno homogéneas. Esto se puede hacer mediante la introducción de $v=u-g$ donde $g$ es alguna función que satisface $\partial_r g = y$ en el límite de la disco. La función de $v$ entonces debe satisfacer $\Delta v = x-\Delta g$. Ahora uso el de separación de variables. La idea es ampliar el lado derecho $f(x,y)=x-\Delta g$ en términos de las funciones propias de la Neumann Laplaciano en el disco. Así que vamos a $\phi_n$ ser aquellas funciones propias, y vamos a $$ f = \sum_n b_n\phi_n. $$ Buscamos la solución en la forma $$ v = \sum_n a_n\phi_n. $$ Entonces la ecuación es $$ \Delta v = \sum_n a_n\Delta \phi_n = \sum_n a_n\lambda_n\phi_n=\sum_n b_n\phi_n, $$ y así $$ a_n=b_n/\lambda_n, $$ que es $$ v = \sum_n \frac{b_n}{\lambda_n} \phi_n. $$ Tenga en cuenta que tenemos $b_0=0$ porque $\lambda_0=0$ para el Neumann Laplaciano, y por una razón relacionada con la solución de $v$ es único hasta una constante.

Answer 2

Voy a empezar por la descomposición problema de la siguiente manera, \begin{cases} \Delta u=x\\ \partial u/\partial r=0 \end{casos}

\begin{cases} \Delta v=0\\ \partial v/\partial r=y \end{casos}

El segundo problema es fácil. Usted puede hacerlo con separación de las variables o simplemente observar que la solución es $v=y$. Para el primer problema con el que podemos empezar por la conversión a coordenadas polares,

$$u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=r\cos\theta$$

Ahora es natural, supongo que la solución es como $r^{3}\cos\theta$. Conectando en los rendimientos que $\frac{1}{8}r^{3}\cos\theta$ obras, y entonces usted necesita para solucionar el BC entonces tenemos $u=\frac{1}{8}r^{3}\cos\theta-\frac{3}{8}r\cos\theta$. La adición de $u$ $v$ los rendimientos de la solución,

$$\frac{x}{8}\left(x^{2}+y^{2}-3\right)+y + C$$

Ahora ya he añadido la constante $C$, tenemos todas las soluciones. Esto es debido a que la solución de Poisson con Neumann datos es única hasta una constante. (Fácil método de energía para mostrar esto)