¿Podemos simetrizar las conexiones en los haces tangentes?

Question

Sea$M$ un colector liso. Denota por$\mathcal{A}$ el espacio de todas las conexiones afines en$TM$ y por$\mathcal{S}$ el subespacio afín de todas las conexiones simétricas.

¿Hay una proyección$P:\mathcal{A}\to \mathcal{S}$? (Es decir,$P^2=P$). Si hay más de uno, ¿hay alguna opción natural?

Tenga en cuenta que$S$ es convexo, por lo que tal vez introducir alguna métrica en$\mathcal{A}$ será útil?

Answer 1

Arreglar una conexión simétrica $\partial$ a utilizar como origen para $\mathcal A$. Cualquier conexión de $\nabla \in \mathcal A$ puede ser escrito $\nabla = \partial + \Gamma$ algunos $(1,2)$-tensor $\Gamma$, la cual puede ser de forma natural se descompuso como $$\Gamma = \mathrm{Sym}(\Gamma) + \frac 1 2 \tau^\nabla$$ where $\tau^\nabla = 2 \mathrm{Alt}(\Gamma)$ is the torsion of $\nabla$. Since the sets of symmetric and antisymmetric tensors are vector spaces giving a direct sum decomposition of $T^1_2$, podemos tomar la proyección lineal en el tensores simétricos a lo largo de la antisimétrica, es decir, "tomar la parte simétrica".

Desde la torsión de una conexión está bien definida (es decir, no depende de nuestra elección de $\partial$), el antisimétrica subespacio también no depende de $\partial$; por lo que esta nos da un honesto afín a la proyección de $P:\mathcal A \twoheadrightarrow \mathcal S$, con lo cual podemos escribir como $$P(\nabla) = \nabla - \frac 1 2 \tau^\nabla,$$ or more explicitly $$P(\nabla)_X Y = \nabla_X Y - \frac 1 2\tau^\nabla(X,Y) = \frac 1 2 \left( \nabla_X Y + \nabla_Y X + [X,Y] \right).$$ There will of course be many, many different projections: this is just a fact of linear algebra. I would argue that this one is the most geometrically natural, however: it's the unique symmetric connection having the same geodesics as $\nabla$.

Probablemente también sea natural/canónico en algunos riguroso sentido: no puedo pensar en cualquier otra proyección de $\mathcal A \twoheadrightarrow \mathcal S$, se podría escribir sin hacer algunas elección arbitraria.

Answer 2

La connaturalidad declaración en la final de la respuesta por @AnthonyCarapetis puede ser, de hecho, hicieron preciso: No es una acción natural de local diffemorphisms sobre afín conexiones (básicamente se caracteriza por $(f^*\nabla)_{f^*\xi}(f^*\eta)=f^*(\nabla_\xi\eta)$). En este sentido, la formación de la torsión es natural, es decir, si $\nabla$ ha torsión $T$, entonces la torsión de $f^*\nabla$ $f^*T$ (retroceso del tensor de campos). En particular, si $\nabla$ es simétrica, entonces también lo es $f^*\nabla$. Por otro lado, la connaturalidad de la formación de la torsión también implica que la proyección de $P$ en Anthony respuesta es compatible con la acción de local diffeomorphism, es decir, $P(f^*\nabla)=f^*(P(\nabla))$ para cualquier conexión de $\nabla$.

La proyección de $P$ no está muy determinada únicamente por esta connaturalidad propery (además de que tal vez algunos supuestos como localidad), ya que se puede jugar algebraica de los juegos con el tensor de torsión, comparar con el comienzo de la sección 25 del libro MR1202431 por Kolar, Michor y eslovaca, que está disponible en línea aquí. Se convierte en único, si se requiere que el simétrico de conexión tiene el mismo geodesics.