¿Por qué no el functor$\bar{\mathcal{P}}\bar{\mathcal{P}}$ preserva pullbacks?

Question

He intentado encontrar ejemplos en mi propio pero los tamaños de los conjuntos es un poco difícil de manejar. En la literatura he visto este hecho se hace referencia en un par de lugares, pero todas ellas apuntan a Rutten: Universal coalgebra: una teoría de sistemas que menciona, en el mismo párrafo, un ejemplo en donde la $\bar{\mathcal{P}}\bar{\mathcal{P}}$ supuestamente no conserva los pullbacks. Recordemos que $\bar{\mathcal{P}}\bar{\mathcal{P}}$ se define como:

$$\bar{\mathcal{P}}\bar{\mathcal{P}}(f):\bar{\mathcal{P}}\bar{\mathcal{P}}(A)\to\bar{\mathcal{P}}\bar{\mathcal{P}}(B) \\ Y\mapsto \{X\subseteq B\mid f^{-1}[X]\Y\}$$

para todos los $Y\subseteq A$$f[X]=\{f(x)\mid x\in X\}$.

"Hay un functor en nuestra lista de arriba que ni siquiera preservar débil pullbacks. Es es el contravariante powerset functor compuesto con la misma $ \bar{\mathcal{P}}\circ\bar{\mathcal{P}}$ .

Tomemos, por ejemplo, $S = \{s_1, s_2 , s_3 \}$; $T = \{t_1 , t_2 , t_3 \}$; U = $\{u_1 , u_2 \}$; $f : S → U$ se denota por $\{s_1 \a u_1 , s_2 \a u_1 , s_3 \a u_2 \}$ and $g : T → U$ denoted by $\{t_1 \a u_1 ,t_2 \a u_2, t_3 \a u_2 \}$. A continuación, la imagen de la la retirada de f y g no es un retroceso y ni siquiera un débil intento de retirada."

El pullback creo que funciona es $W=\{(s_1,t_1),(s_2,t_1),(s_3,t_3),(s_3,t_2) \}$ pero es intratable para mí encontrar la imagen de la coalgebra mapa de este conjunto. Debe haber alguna otra manera de calcular 3*256+16 los elementos y la comprobación de cada uno.

Answer 1

Creo que esto es sólo un argumento de cardinalidad. $W$ Es el retroceso en conjuntos, y tiene cuatro elementos. Si se aplica el functor de potenciómetro ($A\mapsto 2^A$) dos veces se obtiene un conjunto de elementos$2^{2^4} = 2^{16}$. Dado que el retroceso de$2^{2^f}$ con$2^{2^g}$ es un subconjunto de$2^{2^S}\times 2^{2^T}$, que tiene$2^{2^3}\cdot 2^{2^3} = 2^8\cdot 2^8 = 2^{16}$, podemos decir inmediatamente que los pullbacks no se conservarán tan pronto como haya un par con $(x,y)\in 2^{2^S}\times 2^{2^T}$. Puesto que (por ejemplo) la función$2^{2^f}(x) \neq 2^{2^g}(y)$ no es constante, esto es realmente el caso.