Número de soluciones reales de $e^{x^2}=ex$

Question

Encontrar un número de soluciones reales de la ecuación siguiente. $$e^{x^2}=ex$$

Necesidad de un enfoque de cálculo puro...

Answer 1

$$(e^{x^2})''=2(2x^2+1)e^{x^2}>0,$ $ que dice que $f(x)=e^{x^2}$ es una función convexa. Por lo tanto, nuestra ecuación tiene a lo más dos raíces reales.

Pero $1$ es una raíz y es obvio que hay una raíz en $(0,1)$,

que dice que la respuesta es $2$.

Answer 2

Si se toma el logaritmo natural de la ecuación se puede organizar para leer

$$x^2-1 = \ln x.$$

Las dos partes son fáciles de ver y se cruzan en $x=1$. Observando que el lado izquierdo siempre es cóncavo hacia arriba y la derecha siempre es cóncava hacia abajo se muestra que una segunda solución (alrededor de 0,45).

Answer 3

Tal vez ayudarte.

tomar $$f(x)=e^{x^2}-ex$$so $% $ $f'(x)=2xe^{x^2}-e=0\\x=0.761\\$

una de las raíces es $x=1 $ pero más pequeña raíz entre $$(0,0.761)$ $. Usted puede encontrar numéricamente.

Answer 4

Descargo de responsabilidad: Relacionadas, pero no responde a la pregunta.

(No obstante, decir cómo encontrar las raíces en términos de la función W de Lambert)

Inicio elevando al cuadrado ambos lados para obtener

$$e^{2x^2}=e^2x^2$$

Dividir ambos lados por $-e^{2x^2-2}/2$ para obtener

$$-2e^{-2}=-2x^2e^{-2x^2}$$

Aplicar la función W de Lambert a ambos lados para obtener

$$-2x^2=W_k(-2e^{-2})$$

O,

$$x=\pm\sqrt{-\frac12W_k(-2e^{-2})}$$

Desde $-e^{-1}<-2e^{-2}<0$, hay dos verdaderos valores de las ramas de la función W de Lambert, por lo que tenemos 4 posibles soluciones:

$$x=\pm\sqrt{-\frac12W_{k}(-2e^{-2})},\quad k=-1,0$$

Trivialmente, la solución no puede ser negativo, ya que $e^{x^2}>0$, por lo que este se reduzca a

$$x=\sqrt{-\frac12W_{k}(-2e^{-2})},\quad k=-1,0$$

Para $k=-1$, nos encontramos con que

$$W_{-1}(-2e^{-2})=-2$$

Y para $k=0$, nos encontramos con que

$$W_0(-2e^{-2})=-\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{n-1}}{n!}(2e^{-2})^n\approx-0.4064$$

Que da respectivas soluciones

$$x=1,0.4508$$

Uno puede deseamos explotar diferentes representaciones de nuestra solución, tales como

$$\sqrt{-\frac12W_0(-2e^{-2})}=\exp\left(-\frac12W_0(-2e^{-2})-2\right)=\frac1{2e^2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+0.5)^{n-1}}{n!}(2e^{-2})^n$$

O, quizás, si usted prefiere numéricos métodos de iteración,

$$a_0=0.5,~~a_{n+1}=e^{a_n^2-1}$$

Sobre la cual puedo obtener (con mi unperfect calculadora)

$$a_{20}=0.450763653$$

Answer 5

Creo que la siguiente es una breve prueba de dibujo que la respuesta es 2. Claramente un entero solución es $x=1$. Se puede argumentar basado en la geometría de las curvas de $f(x)=e^{x^{2}}$ $g(x)=ex$ que la intersección entre los dos contiene el cero, uno, o dos puntos.

Así que ya sabes que es de uno, o dos, ya que $x=1$ es una solución. Por lo tanto, donde el cálculo viene, está mostrando que la $ex$ es no la línea tangente a $f(x)=e^{x^{2}}$$x=1$. Ahí, entonces, debe ser de dos raíces reales.

EDICIÓN: Michael Rozenberg del argumento anterior sobre la convexidad debe ser usado para reemplazar mi handwaving acerca de la " forma de las funciones.'