Si $P(a)=0 \Rightarrow P(a+1)=1$ $P(x)$ tiene ninguna raíces repetidas.

Question

Que $P(x) \in \mathbb{R}[x]$ ser polinómica con todos raíces reales y tiene la propiedad de que $P(a)=0 \Rightarrow P(a+1)=1$ % todos $a \in \mathbb{R}$. Demostrar que $P(x)$ tiene una raíz repetida.

Creo que este planteamiento del problema no es cierto porque si suponemos que $P(x)=x$ $P(0)=0 \Rightarrow P(1)=1$, $\;P(x)$ no tiene ninguna raíz repetida.

Por favor sugerir.

Answer 1

Supongamos que $P \in \mathbb{C}[x]$ tiene el grado $k$, es decir, tiene raíces complejas $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ con $$ P(x)=c\prod_i(x-\alpha_i) $$ donde el $\alpha_i$ son distintos complejo y $c\neq 0$. Además, sabemos que $$ P(x)-1=c\prod_i(x-\alpha_i-1). $$ En particular, el coeficiente de $x^{k-1}$ $P(x)$ verifica $$ -c\sum_i \alpha_i = - c\sum_i (\alpha_i+1). $$ Esto es imposible, siempre $k\ge 2$.

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Edit: La condición de $\alpha_i$ ser distinto es necesario. De hecho, el polinomio $P(x):=x^k$ tiene todas las raíces reales e iguales a $0$, e $P(a)=0 \implies P(a+1)=1$ todos los $a \in \mathbf{R}$.

Answer 2

Es necesario el grado de $P$ $d\ge2$. Si entonces $$P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_d)$de % $ % distintas $a_i$. ¿Entonces $$P(x)-1=(x-a_1-1)(x-a_2-1)\ldots(x-a_d-1).$ $ se puede obtener una contradicción de estos?

Answer 3

Para $n>1$ tenemos $P(x)=(x-a)^n$ $P(a+1)=(a+1-a)^n=1$

Si $P(x)$ no tiene repetida la raíz, a continuación, esto no sucede en general

De todos modos quilates, el cartel original, es de derecho: para $n=1$ es falso. Aún no tiene ningún sentido hablar de raíces múltiples para $n=1$

Supongamos que la raíz se $3$, entonces tenemos

$P(x)=(x - a) (x - b) (x - c)$

El uso de la condición de que $P(a+1)=1;\;P(b+1)=1;\;P(c+1)=1$

$$ \left\{ \begin{gathered} \left( {a + 1 - a} \right)\left( {a + 1 - b} \right)\left( {a + 1 - c} \right) = 1 \hfill \\ \left( {b + 1 - a} \right)\left( {b + 1 - b} \right)\left( {b + 1 - c} \right) = 1 \hfill \\ \left( {c + 1 - a} \right)\left( {c + 1 - b} \right)\left( {c + 1 - c} \right) = 1 \hfill \\ \end{reunieron} \right. $$ que se simplifica a $$\left\{ \begin{gathered} \left( {a - b + 1} \right)\left( {a - c + 1} \right) = 1 \hfill \\ \left( {b - a + 1} \right)\left( {b - c + 1} \right) = 1 \hfill \\ \left( {c - a + 1} \right)\left( {c - b + 1} \right) = 1 \hfill \\ \end{reunieron} \right.$$

que se verifica cuando se $a=b=c$

Por lo tanto, $x=a$ es una raíz triple. $P(x)=(x-a)^3$

En forma similar se puede demostrar por cualquier título