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6 votos

Si P(a)=0P(a+1)=1 P(x) tiene ninguna raíces repetidas.

Que P(x)R[x] ser polinómica con todos raíces reales y tiene la propiedad de que P(a)=0P(a+1)=1 % todos aR. Demostrar que P(x) tiene una raíz repetida.

Creo que este planteamiento del problema no es cierto porque si suponemos que P(x)=x P(0)=0P(1)=1, P(x) no tiene ninguna raíz repetida.

Por favor sugerir.

6voto

Paolo Leonetti Puntos 2966

Supongamos que PC[x] tiene el grado k, es decir, tiene raíces complejas α1,,αk con P(x)=ci(xαi) donde el αi son distintos complejo y c0. Además, sabemos que P(x)1=ci(xαi1). En particular, el coeficiente de xk1 P(x) verifica ciαi=ci(αi+1). Esto es imposible, siempre k2.


Edit: La condición de αi ser distinto es necesario. De hecho, el polinomio P(x):=xk tiene todas las raíces reales e iguales a 0, e P(a)=0P(a+1)=1 todos los aR.

4voto

Es necesario el grado de P d2. Si entonces $$P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_d)de % distintas ai. ¿Entonces $$P(x)-1=(x-a_1-1)(x-a_2-1)\ldots(x-a_d-1). se puede obtener una contradicción de estos?

0voto

Raffaele Puntos 339

Para n>1 tenemos P(x)=(xa)n P(a+1)=(a+1a)n=1

Si P(x) no tiene repetida la raíz, a continuación, esto no sucede en general

De todos modos quilates, el cartel original, es de derecho: para n=1 es falso. Aún no tiene ningún sentido hablar de raíces múltiples para n=1

Supongamos que la raíz se 3, entonces tenemos

P(x)=(xa)(xb)(xc)

El uso de la condición de que P(a+1)=1;P(b+1)=1;P(c+1)=1

\left\{ \begin{gathered}
  \left( {a + 1 - a} \right)\left( {a + 1 - b} \right)\left( {a + 1 - c} \right) = 1 \hfill \\
  \left( {b + 1 - a} \right)\left( {b + 1 - b} \right)\left( {b + 1 - c} \right) = 1 \hfill \\
  \left( {c + 1 - a} \right)\left( {c + 1 - b} \right)\left( {c + 1 - c} \right) = 1 \hfill \\ 
\end{reunieron} \right.
que se simplifica a \left\{ \begin{gathered}
  \left( {a - b + 1} \right)\left( {a - c + 1} \right) = 1 \hfill \\
  \left( {b - a + 1} \right)\left( {b - c + 1} \right) = 1 \hfill \\
  \left( {c - a + 1} \right)\left( {c - b + 1} \right) = 1 \hfill \\ 
\end{reunieron} \right.

que se verifica cuando se a=b=c

Por lo tanto, x=a es una raíz triple. P(x)=(xa)3

En forma similar se puede demostrar por cualquier título

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