Diferencia entre anillos de funciones continuas en $[0,1]$ y $(0,1)$.

Question

Considere la posibilidad de $X=[0,1],Y=(0,1)$. Denotar $C(W)=$conjunto de bienes con valores de funciones continuas en $W$. Aquí $X$ $Y$ son heredado el estándar de la topología de $R$.

1. ¿Cuál es la diferencia entre los dos anillos de $C(X),C(Y)$? Claramente $C(Y)$ tiene funciones que no son considerados continua en $X$$\frac{1}{(x-1)^r},\frac{1}{x^r}$$r\in R_{>0}$. Pero siempre se puede restringir las funciones en $X$ $Y$obtener un mapa continuo considerando $Y$ como un subespacio de $X$. Así que he a $C(X)\xrightarrow{Res^X_Y}C(Y)$ y esto debe de ser mono.

La compacidad de $[0,1]$ requiere la función delimitada, mientras que $C(Y)$ no tiene esta propiedad.

2. ¿Cómo funciona la estructura de anillo de reconocer topológica de la diferencia que no se pase de la topológicos de la diferencia a través de la estructura de anillo, como lo hemos hecho en la sheaf de funciones regulares a través de algún tipo de localización de la técnica?

3. ¿Hay un genérico receta para la construcción de la estructura de estos anillos de $X$ o $Y$?

Answer 1

Sólo voy a responder a la pregunta 1, y sólo a partir del modelo teórico de la perspectiva: $C(X)$ no es elemental equivalente a $C(Y)$ (es decir, podemos encontrar una frase en el idioma de los anillos es cierto en uno, pero falsa en el otro). Esto implica que también son no isomorfos (tu comentario anterior demuestra que ellos no son "canónicamente" isomorfo).

Vamos $\rho(x) =(\exists y)(x\cdot y=1)$; $\varphi(x)=(\exists y)(y^{2}=x)$; y $\psi(x)= \varphi(x) \wedge (\forall y \neq \mathbf{0})(\varphi(y)\to\neg\varphi(x-y))$. $\rho(x)$ es la colección de elementos que tiene un inverso, $\varphi(x)$ es la colección de elementos que son cuadrados, y $\psi(x)$ es la colección de elementos que son ambos cuadrados y para cualquier otro (no-cero) de la plaza, su diferencia no es un cuadrado (creemos que de $\psi(x)$ como elementos positivos y cerca de $0$. Por ejemplo, la identidad de la función de $X \to X$ satisface esta condición).

Reivindicación 1: Vamos a $f \in C(X)$ o $f \in C(Y)$. A continuación, $f$ es un cuadrado iff $f \geq 0$.

Reivindicación 2: Si $f \in C(X)$ $\psi(f)$ es verdadera, entonces el $\exists x_0$ tal que $f(x_0) = 0$. Esto se deduce del hecho de que $X$ es compacto. Sin embargo, esto no es cierto para $g \in C(Y)$. Considere la posibilidad de $g = id_Y$.

Reivindicación 3: Si $f \in C(X)$ $\psi(f)$ es verdadera, entonces el $f$ no tiene un inverso multiplicativo en $C(X)$ (desde $f(x_0) = 0$ algunos $x_0$). Sin embargo, esto no es cierto en $C(Y)$ como se comentó anteriormente.

Reivindicación 4: $C(X)\models\forall x(\psi(x)\to\neg\rho(x))$$C(Y) \models \exists x(\psi(x) \wedge \rho(x))$.

Por lo tanto, las dos estructuras no son de primaria equivalente en el idioma de los anillos.

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Además, se puede definir un orden parcial sobre estas estructuras (en el anillo de la lengua) diciendo que $f \leq g \iff \varphi(g -f)$. Ahora, $C(X)$ es de arquímedes con respecto a este orden parcial (y la única imagen de $\mathbb{Z}$ asignado a esta estructura), mientras que $C(Y)$ no lo es.