Es fácil demostrar que la desigualdad del triángulo es válida para cualquier triángulo con las longitudes de los lados $a$ , $b$ y $c$ . Pero cómo se puede demostrar que si la desigualdad del triángulo se cumple para cualquier positivo dado $a$ , $b$ y $c$ entonces un triángulo (figura geométrica) con las longitudes de los lados iguales a $a,b$ y $c$ ¿se puede formar necesariamente?
Dejemos que $B(0,0)$ y $C(a,0)$ .
Por lo tanto, $BC=a$ y tenemos que demostrar que existe $A(x,y)$ tal que $AB=c$ y $AC=b$ .
Puedes escribir las ecuaciones de dos circunferencias y demostrar que hay puntos de intersección.
Por ejemplo $x^2+y^2=c^2$ y $(x-a)^2+y^2=b^2$ .
Así, $-2ax+a^2+c^2=b^2$ o $x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$ y $$y^2=c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)^2$$ o $$y^2=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{4a^2},$$ que dice que hay dos puntos de intersección.
Tenga en cuenta que para tener $y^2\gt 0$ necesitas las diferentes desigualdades de los triángulos para trabajar.
@Mark Bennet Se da que $a+b-c>0$ , $a+c-b>0$ y $b+c-a>0$ . Tenemos que demostrar que existe un triángulo con lados-longitudes $a$ , $b$ y $c$ , que es lo que he hecho.
Sé que se da - la otra mitad del punto es que si la fórmula no hiciera referencia a las desigualdades, sería [casi seguro] incorrecta.
Depende de lo que sea capaz de asumir. Tome lados de longitudes $a,b,c$ y elegir dos puntos $A, B$ distancia $c$ aparte. Construir un círculo de radio $b$ centrado en $A$ y un círculo de radio $a$ centrado en $B$ .
El círculo centrado en $A$ cruza el segmento $AB$ ampliado - en dos puntos. En la dirección hacia $B$ tenemos $c-a\lt b\lt c+a$ por la desigualdad del triángulo, por lo que el punto de cruce está dentro del círculo centrado en $A$ .
Para el punto alejado de $B$ tenemos $c+b\gt a$ por lo que el punto de cruce está fuera del círculo centrado en $A$ .
Por lo tanto, los círculos deben encontrarse (aquí es donde hay que saber lo que se puede asumir - de hecho en dos puntos). Elige un punto de encuentro y llámalo $C$ . $ABC$ es un ejemplo del triángulo que querías que existiera.
Obsérvese que aquí se invocan las tres "desigualdades triangulares".
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¿Serviría un argumento geométrico? Dibujar una de las aristas (digamos $a$ ) y luego dibujar círculos con radios $b$ y $c$ en cada extremo
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@Shuri2060 ¿Cómo sabes que los círculos se encuentran entre sí?
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@MarkBennet ¿Se puede entender intuitivamente que si la distancia entre los centros de dos circunferencias es menor que la suma de sus radios entonces deben coincidir? Si no es así, podrías optar por una aproximación algebraica como se sugiere en una respuesta más abajo.
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@Shuri2060 Considera un círculo de radio $1$ centrado en el origen y un círculo de radio $4$ centrado en $(0,2)$ - necesitas los tres triángulos iguales para que funcione. Creo que es un comentario de Coxeter sobre la primera proposición de Euclides (construir un triángulo equilátero) que no demuestra que los círculos se encuentran - creo que está en su "Introducción a la Geometría", pero no tengo la referencia a mano.
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@MarkBennet No lo he pensado del todo. Pero sí - usando las otras dos desigualdades, también obtendrás que un círculo no puede estar contenido en otro por lo que deben intersecarse