Condición de existencia de un triángulo

Question

Es fácil demostrar que la desigualdad del triángulo es válida para cualquier triángulo con las longitudes de los lados $a$ , $b$ y $c$ . Pero cómo se puede demostrar que si la desigualdad del triángulo se cumple para cualquier positivo dado $a$ , $b$ y $c$ entonces un triángulo (figura geométrica) con las longitudes de los lados iguales a $a,b$ y $c$ ¿se puede formar necesariamente?

Answer 1

Dejemos que $B(0,0)$ y $C(a,0)$ .

Por lo tanto, $BC=a$ y tenemos que demostrar que existe $A(x,y)$ tal que $AB=c$ y $AC=b$ .

Puedes escribir las ecuaciones de dos circunferencias y demostrar que hay puntos de intersección.

Por ejemplo $x^2+y^2=c^2$ y $(x-a)^2+y^2=b^2$ .

Así, $-2ax+a^2+c^2=b^2$ o $x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$ y $$y^2=c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)^2$$ o $$y^2=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{4a^2},$$ que dice que hay dos puntos de intersección.

Answer 2

Depende de lo que sea capaz de asumir. Tome lados de longitudes $a,b,c$ y elegir dos puntos $A, B$ distancia $c$ aparte. Construir un círculo de radio $b$ centrado en $A$ y un círculo de radio $a$ centrado en $B$ .

El círculo centrado en $A$ cruza el segmento $AB$ ampliado - en dos puntos. En la dirección hacia $B$ tenemos $c-a\lt b\lt c+a$ por la desigualdad del triángulo, por lo que el punto de cruce está dentro del círculo centrado en $A$ .

Para el punto alejado de $B$ tenemos $c+b\gt a$ por lo que el punto de cruce está fuera del círculo centrado en $A$ .

Por lo tanto, los círculos deben encontrarse (aquí es donde hay que saber lo que se puede asumir - de hecho en dos puntos). Elige un punto de encuentro y llámalo $C$ . $ABC$ es un ejemplo del triángulo que querías que existiera.

Obsérvese que aquí se invocan las tres "desigualdades triangulares".