Una pregunta sobre la medida de Lebesgue y sus medidas absolutamente continuas

Question

Que $\lambda$ ser la medida de Lebesgue y una medida absolutamente continua con respecto a los $\mu$ $\lambda$.

Supongamos que % de sistemas mensurables de Lebesgue $X_n$, $n=1,2,...$,

$\lambda(X_n)=1/n$.

¿Tenemos $\mu(X_n)\to 0$ $n\to \infty$?

Gracias.

Answer 1

Definir $\mu$ sobre el Lebesgue medibles conjuntos $$\mu(E)=\begin{cases} 0 & \text{if}\ \lambda(E)=0,\\ \infty & \text{otherwise}. \end{casos}$$ El hecho de que esta es una medida de la siguiente manera por el uso de ese $\lambda(\emptyset)=0$ $\lambda(\cup_n E_n)=0$ fib $\lambda(E_n)=0$ por cada $n$. Claramente $\mu \ll \lambda$. Sin embargo $\mu(X_n) = \infty$ por cada $n$.

Si $\mu$ se supone que para ser finito, entonces es cierto. De hecho, tenemos el siguiente teorema (Teorema 3.5 de Folland del Análisis Real).

Teorema. Deje $\nu$ ser finito, firmado medir y $\mu$ una medida positiva en $(X,\mathcal{M})$. A continuación, $\nu \ll \mu$ fib para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|\nu(E)|<\varepsilon$ siempre $\mu(E)<\delta$.

La dirección inversa, es fácil, y la dirección de avance de la siguiente manera a partir de un estándar argumento por contradicción mediante la continuidad de la anterior.

Answer 2

Considerar el % de medida $\mu(dx) = |x| \, \lambda(dx)$y $X_n = [n,n+\frac{1}{n}]$. $\mu$ Es absolutamente continua w.r.t. $\lambda$ pero

$$ \mu(X_n) = \int_{X_n} |x| \, dx \geq 1. $$

Answer 3

A menos que $\mu$ es una medida finita se trata, en general, no es cierto. Consideremos por ejemplo

$$\mu(B) := \int_{B \cap (0,\infty)} x \, \lambda(dx)$$

y

$$X_n := \left[n, n+ \frac{1}{n} \right],$$

entonces

$$\mu(X_n) = \int_n^{n+1/n} x \, \lambda(dx) \geq n \int_{n}^{n+1/n} \, \lambda(dx) = 1;$$

en particular hace $\mu(X_n)$ no convergen a $0$.