Encontrar todas las soluciones al $x^3+(x+1)^3+ \dots + (x+15)^3=y^3$

Question

Encontrar todos los pares de enteros $(x, y)$ tal que $$x^3+(x+1)^3+ \dots + (x+15)^3=y^3$$

Lo que he probado hasta ahora:

El coeficiente de $x^3$ $16$ en el lado izquierdo. No es útil, a continuación, tratar de obligado LHS entre, por ejemplo, $(ax+b)^3$ $(ax+c)^3$ y, a continuación, decir que $ax+b<y<ax+c$.

También he intentado usar el modulo de una prima. Pero parece poco probable que las variables vinculadas de esta manera.

EDIT : Aunque, puede ser factorizado como $(2x+15)(x^2+15x+120)=(y/2)^3$. LSH factores son casi co-prime y podemos decir que $x^2+15x+120=3z^3$ o $x^2+15x+120=5z^3$. Estos son todavía demasiado difícil de resolver!

Alguna idea?

Answer 1

Esto no es una solución completa, pero espero que le da un enfoque. (Es demasiado largo para un comentario)

Desde entonces tenemos %#% $ #%

Usted puede escribir\begin{align} x^3+(x+1)^3+ \dots + (x+15)^3 &=\sum_{r=1}^{x+15} r^3-\sum_{r=1}^{x-1} r^3 \\ &=\left(\frac { (x+15)(x+16)}{2}\right)^2-\left(\frac { x(x-1)}{2}\right)^2\\ &=\left[\left(\frac { (x+15)(x+16)}{2}\right)-\left(\frac { x(x-1)}{2}\right)\right]\left[\left(\frac { (x+15)(x+16)}{2}\right)+\left(\frac { x(x-1)}{2}\right)\right]\\ \end {Alinee el}

Simplificando esto, conseguimos $$\sum_{r=1}^{n} r^3=\left(\frac { n(n+1)}{2}\right)^2$ $

Answer 2

Buscas para $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ que $$ \sum_{i= 0}^{15} (x+i)^3 = y^3, \tag{0}$ $ que es, $$ \sum_{i= 0}^{15} \left( x^3 + 3 i x^2 + 3i^2 x + i^3 \right) = y^3, $ $ que es, $$ 16 x^3 + 3 \frac{15 (15+1)}{2} x^2 + 3 \frac{15 (15+1)(2 \times 15 + 1)}{6} + \left( \frac{15 (15+1)}{2} \right)^2 = y^3, $ $ que es, $$ 16 x^3 + 360 x^2 + 3720 x + 14400 = y^3, $ $ que se puede escribir como $$ 8 (2x^3 + 45 x^2 + 465 x + 1800) = y^3 $ $ se puede llegar desde aquí?