¿Podemos expresar cualquier número real positivo con precisión arbitraria, con un cociente de dos números primos?

Question

Aunque la pregunta podría parecer trivial en primer lugar porque hay infinitos números primos y por ejemplo, el índice de cerca de dos números primos tiende a $1$ al infinito, todavía hay un punto que falta.

Si definimos el conjunto de $S=\{\, \frac{p_{i}}{p_{j}}\mid i,j\in\Bbb N\,\}$ donde $p_i$ es el primer número de $i$, es denso en el conjunto de no-negativos reales?

Si es que, como mucho como se ve (predominantemente) obvio, no estoy seguro acerca de que precisa de la propiedad se está asegurando de esta, ya que ni la infinitud de los números primos, ni el límite de la relación de las dos sucesivos números primos llegar a $1$ (que es un teorema en sus el propios) parece suficiente individualmente.

Me imagino algo así como: el juego racional tiene esta propiedad y se puede sustituir cada número racional con un cociente de dos números primos para cualquier precisión deseada. Pero, ¿podemos?

Tal vez me estoy perdiendo algo, pero no es evidente que sea cual sea la forma que lo miro.

Teorema de la que se espera es como:

Si $\frac{r_{1}}{s_{1}}>\frac{r_{2}}{s_{2}} > 0$ entonces siempre hay dos números primos $p_{m}$$p_{n}$, de modo que $\frac{r_{1}}{s_{1}}>\frac{p_{m}}{p_{n}}>\frac{r_{2}}{s_{2}}$

si que es trabajar.

(Desde el editor señaló a una pregunta existente: La pregunta existente de "son fracciones con el primer numerador y denumerator densa" va en la misma cesta matemáticamente, son la consecuencia de unos a otros, pero estos dos no son realmente la misma pregunta, ya que este uno tira hacia por ejemplo, encontrar un procedimiento que permita acercarnos más al número real positivo, mientras que la pura cuestión de ser densa no sugerencia para tal procedimiento.

Ya que no encontré la pregunta o alguna sugerencia antes de plantearlo, otras personas van a tener la misma experiencia. En esencia, esta pregunta es más simple ya que se le pregunta acerca de cualquier número real positivo directamente.

Dos preguntas son la misma, sólo que a la gente que sabe algo sobre el tema).

Answer 1

Sí, se puede. Deje $x_0>0$ ser un determinado número positivo, y deje $p_k$ el valor del $k$th prime.

Recordemos que $p_n \sim n \log n$$n \to \infty$, por lo que

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{p_{\lfloor nx_0 \rfloor}}{p_n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\lfloor nx_0 \rfloor \log \lfloor nx_0 \rfloor}{n \log n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\left(nx_0 - \epsilon_n\right)\log (nx_0 - \epsilon_n)}{n \log n}$$

donde $\epsilon_n \in [0,1)$ ($\epsilon_n$ depende de a $n$).

Desde fijo $x_0>0$, y la secuencia de las $\left\{\epsilon_n\right\} \subset [0,1)$ tenemos las equivalencias $nx_0 - \epsilon_n \sim nx_0 $$\log (nx_0 - \epsilon_n) \sim \log(nx_0)$$n \to \infty$, obtenemos

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\left(nx_0 - \epsilon_n\right)\log (nx_0 - \epsilon_n)}{n \log n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{nx_0\left(\log n + \log x_0\right)}{n \log n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{x_0\left(\log n\right)}{\log n} + \lim_{n \to +\infty} \frac{x_0\log x_0}{\log n} = x_0 $$

Esto implica que cualquier $x_0>0$ se puede aproximar con precisión arbitraria por parte de la secuencia de $\left\{\frac{p_{\lfloor {nx_0} \rfloor}}{p_n}\right\}_{n \geq 1}$

Si permite a los negativos de los números primos, esto significa que el primer proporciones son densos en $\mathbb{R}$.

Answer 2

Como se indicó en el OP, esto es implícita por el par de hechos que existen infinitos números primos, y la relación de los sucesivos números primos converge a $1$. Aquí es una prueba de que no utiliza las propiedades de la secuencia de los números primos, de ahí que el mismo resultado se aplica a cualquier aumento de la secuencia de enteros con esas dos propiedades (en general, cualquier secuencia de reales que aumenta a$\infty$, y ha proporciones de la convergencia a la $1$).

Deje $C>1$ ser un real positivo que se aproximan ($C=1$ está directamente implicado por nuestras suposiciones, y $C<1$ puede ser manejado por tomar recíprocos), y supongamos que se necesita para encontrar un primer fracción en el rango de $(C,C + \epsilon)$.

Desde $p_{n+1}/p_n \to 1$, podemos optar $N$ tal que $p_{n+1}/p_n < 1 + \epsilon/C$ todos los $n \ge N$. Ahora llevamos $b = p_N$ como denominador y elija $a := p_m$, de modo que $m$ es el mínimo índice de satisfacción de $p_m/b > C$. Claramente un $m$ existe desde que existen infinitos números primos tan arbitrariamente grandes valores de $a$ están disponibles.

Está claro que $m > N$ y $a/b > C$. Por nuestra elección de $m$, $p_{m-1}/b \le C$. Por nuestra elección de $N$, $p_m/p_{m-1} < 1 + \epsilon/C$. Por lo tanto,$a/b = (p_m/p_{m-1})(p_{m-1}/b) < C + \epsilon$.

Answer 3

El conjunto de los números primos tiene asintótica de la densidad de cero, sino $\pi(n)$ no es muy menor que $n$, es acerca de la $\frac{n}{\log n}$ por el PNT. Además, un resultado de Ingham asegura la existencia de un primer en el intervalo de $[n^3,(n+1)^3]$ cualquier $n\geq N=\exp\exp(34)$. Deje $r\in(1,+\infty)$. Para cualquier prime $p>N^3$, hay un primer $q$ en el rango $[pr,((pr)^{1/3}+1)^3]$. Obviamente $\frac{q}{p}\geq r$, pero $$ \frac{q}{p}-r \leq \frac{3(pr)^{2/3}}{p} = \frac{3r^{2/3}}{p^{1/3}} $$ y el lado derecho tiende a cero, como se $p\to \infty$, por lo tanto las proporciones de los números primos son densos en $(1,+\infty)$. Considerando recíprocos y los opuestos es fácil de demostrar que los cocientes de los números primos son densos en $\mathbb{R}$.

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Obviamente nosotros no stricly necesidad de la finura de Ingham del resultado, algo así como "para cualquier $n$ lo suficientemente grande, siempre hay un primer en el intervalo de $[n^{42},(n+1)^{42}]$" tendría que haber hecho el trabajo igual de bien. Podemos probar también la demanda invocando algo como

Deje $E\subset\mathbb{N}$ el conjunto de los números naturales $n$ con la propiedad de que existe un prime en el intervalo de $[n,n+\log(n)^{12}]$. $E$ tiene un positivo asintótica de la densidad.

codificación el hecho de que moderadamente primos grandes brechas son muy raros. De hecho, en el intervalo de $[1,n]$ el promedio de la distancia entre el primer y el siguiente es de alrededor de $\log n$, siempre por el PNT.

Answer 4

(Yo).Teorema. Para cualquier $x\in \mathbb R$ existen infinidad de $(a,b)\in \mathbb Z\times \mathbb N$ tal que $|x-\frac {a}{b}|<\frac {1}{b^2\sqrt 5}.$

Por comodidad, vamos a tomar el resultado más débil que el $|x-\frac {a}{b}|<\frac {1}{b^2}$ en el teorema anterior.

(II). Un corolario inmediato del Teorema de los números Primos: Para todos los $y>0$ existe $z>0$ tal no existe un principal entre los $n$ $n(1+y)$ siempre $n>z$.

(III). Deje $x>0.$ $y>0,$ $z$ que no es una de las principales entre el $n$ $n(1+y)$ todos los $n\geq z.$ $a,b \in \mathbb N$ tal que $|x-\frac {a}{b}|<\frac {1}{b^2}$ $\min (a,b)\geq z$ (lo cual es posible por el Teorema (I).) Deje $p,q$ ser primos con $a<p<a(1+y)$ $b<q<(1+y)b.$

Tenemos $-aby= ab-ba(1+y)<aq-bp<ab(1+y)-ba=aby.$, $|aq-bp|<aby$.

También se $\frac{a}{b}=|\frac {a}{b}|\leq |\frac {a}{b}-x|+|x|<\frac {1}{b^2}+|x|\leq 1+x.$

Por lo tanto, $$\left|x-\frac {p}{q}\right|\leq\left|x-\frac {a}{b}\right|+\left|\frac {a}{b}-\frac {p}{q}\right|<\frac {1}{b^2}+\left|\frac {aq-bp}{bq}\right|<\frac {1}{b^2}+ \frac {aby}{b^2}=\frac {1}{b^2}+y\frac {a}{b}\leq \frac {1}{b^2}+ y(1+x).$$

Desde $y$ puede ser arbitrariamente cerca de $0,$ $b$ puede ser arbirtarily grande para cualquier $y,$ hemos terminado por $x>0.$ $x=0$ considera $2/p$ arbitrariamente grande prime $p.$

Nota a pie de página. Teorema (I) no es profundo o difícil. El Primer Número Teorema sin duda lo es.