Voy a exponer mis preguntas primero y, a continuación, proporcionar algunos antecedentes. La pregunta 3 es por mucho, mi más importante. Trabajamos sobre $k=\mathbb{C}$ siempre que sea necesario.
Es cierto que $\text{Pic}(\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, con generadores $\pi_1^*(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1))$$\pi_2^*(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^m}(1))$? (aquí el $\pi_i$ son de la canónica de proyecciones).
Es cierto que la presheaf $U \mapsto \pi_1^*(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(k_1))(U) \otimes \pi_2^*(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^m}(k_2))(U)$ es ya una gavilla de todos los $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$? Si no, esto es cierto si nos demanda la $k_i$ a ser positivo, o igual, o ambos?
Deje $F, G$ línea de paquetes en una variedad proyectiva $X$ tales que su producto tensor en presheaves es ya una gavilla. Luego, por supuesto,$H^0(X, F \otimes G) \cong H^0(X,F) \otimes H^0(X,G)$, de manera diferente, declaró el mundial secciones functor desplazamientos con el producto tensor (aunque el tensor de productos son "diferentes", es uno es (pre)poleas y uno se encuentra en $k$-espacios vectoriales). Pregunta: ¿hay una relación similar para el mayor gavilla cohomology functors los desplazamientos con el producto tensor? Me imagino que hay una cierta secuencia espectral para esto, lo más probable es que también implica la mayor Tor functors.
Antecedentes:
Estoy considerando un singular superficie en $\mathbb{P}^3$ y su desingularization en la voladura $S \subset \tilde{\mathbb{P}^3} \subset \mathbb{P}^3 \times \mathbb{P}^2$. Estoy pensando en alguna línea en particular bundle $Q$ $S$ y estoy muy interesada en su primera cohomology grupo. Tengo poca información, pero después de tensoring esta gavilla con algunos otros "fácil" bundles su cohomology puede ser fácilmente calculada. Yo estoy esperando que me puede traducir esto al volver a la información sobre el paquete $Q$.
Mis intentos hasta ahora:
Para 1., estoy bastante seguro de Hartshorne II.6.6 y II.6.6.1 generalizar directamente sino que se siente resbalosa, que es por ello que te pido. 2, cuando el pensamiento de $$ \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m = \text{Value}(k[z_{ij}]_{i,j})/\sim $$ y Serre la construcción de la torsión de las poleas donde el global de las secciones son solo elementos de este anillo de algún grado, lo que parece ser cierto, al menos para el mundial de secciones y $k_1 = k_2$. De nuevo, se siente resbalosa suficiente para preguntar.
Como para 3 no tengo idea (todavía).
Por favor, siéntase libre de usar el lenguaje de esquemas y álgebra homológica, se supone que debo estar familiarizado con esto.. muchas Gracias!
