mostrando que tiene una desigualdad

Question

Estoy tratando de averiguar cómo mostrar que $n\geq 3$, $$(2^n-1)^{\frac{n}{2(n-1)}}\geq (2^{n-1}-1)^{\frac{n-1}{2(n-2)}}+1.$ $

He intentado Álgebra básica y la inducción, pero la hipótesis inductiva parece ser inútil. También he probado utilizando el cálculo, pero los derivados de cada lado son una locura. Alguna sugerencia?? ¡Gracias!

Answer 1

Deje $P_n$ declaración (la desigualdad), lo cual es cierto para $n \geq 3 $.

Verificación de la Base Paso: $ P(3)$ nos de $Left Hand Side = 4.30351707066$, $RHS = 4$ que podemos ver $P(3)$ es cierto.

Ahora estamos de paso inductivo, supongamos que $P(k)$ obras. $P(k): (2^k -1)^{k/2k-2)} \geq (2^{k-1} -1)^{(k-1)/2(k-2)} +1 $

Entonces asumimos $P(k+1)$ también el trabajo que hemos $P(k+1): (2^{k+1} -1)^{(k+1)/2k} \geq (2^{k} -1)^{(k)/2k-2)} +1 $

Aquí podemos ver la RHS de $P(k+1)$ parece casi el mismo que en el lado izquierdo de $P(k)$, por lo que hemos inequailty: $(2^{k+1} -1)^{(k+1)/2k} \geq (2^{k} -1)^{(k)/2k-2)} +1 \geq (2^k -1)^{k/2(k-1)} \geq (2^{k-1} -1)^{(k-1)/2(k-2)} +1 $ agregar algo aquí para que se vea más bonito, si es necesario.

que podemos ver $P(k)$ es cierto para cualquier $k\geq 3$

Conclusión. $P(n)$ es cierto para cualquier n mayor o igual a 3.