Ejercicio de divisibilidad de polinomios

Question

¿Cómo puedo demostrar que $(X+1)^{6n+1}-X^{6n+1}-1$ es divisible por $(X^2+X+1)^2$ sin funciones derivadas? (Estoy en el 10º grado).

Answer 1

Denotemos $q_n(x)=(x+1)^{6n+1}-x^{6n+1}-1$ . Podemos observar que

$$ q_{n+1}(x)-(x+1)^6 q_n(x) = \left[(x+1)^6-x^6\right]x^{6n+1}+\left[(x+1)^6-1\right] $$ donde ambos $(x+1)^6-x^6$ y $(x+1)^6-1$ son múltiplos de $x^2+x+1$ :

$$ q_{n+1}(x)-(x+1)^6 q_n(x) = (x^2+x+1)\left[(1 + 2 x)(1 + 3 x + 3 x^2)x^{6n+1}+x (2 + x) (3 + 3 x + x^2)\right] $$ Para demostrar la afirmación por inducción, se deduce que basta con mostrar

$$ (x^2+x+1)\mid \left[(1+2x)x^{6n+1}+x^3(2+x)\right] $$ para cualquier $n\geq 0$ . Esto puede hacerse por inducción, de nuevo. Denotemos $r_n(x)=(1+2x)x^{6n+1}+x^3(2+x)$ . La última afirmación es válida para $n=0$ y

$$ r_{n+1}(x)-x^6 r_n(x) = x^3 \left(2+x-2 x^6-x^7\right) = x^3(2+x)(1-x^6) $$ por lo que hemos terminado, ya que $x^2+x+1$ es un divisor de $1-x^6$ .

Answer 2

Una forma es utilizar el teorema del binomio.

Supongamos que $a$ es una raíz de $x^2+x+1=0$ . En particular $a^3=1$ y $a+1=-a^2$ .

Queremos demostrar que podemos dividir dos veces por $y=x-a$ el polinomio $$p(x)=(x+1)^{6n+1}-x^{6n+1}-1$$

Sustitución de $x=y+a$ obtenemos

$$(y+(a+1))^{6n+1}-(y+a)^{6n+1}-1$$ Utilizando el teorema del binomio esto es $$\sum_{k=0}^{6n+1}\binom{6n+1}{k}y^k(a+1)^{6n+1-k}-\sum_{k=0}^{6n+1}\binom{6n+1}{k}y^ka^{6n+1-k}-1$$

El término constante es $$(a+1)^{6n+1}-a^{6n+1}-1=(-a^2)^{6n}(-a^2)-a^{6n}\cdot a-1=-a^2-a-1=0$$

El coeficiente del término de grado $1$ es

$$(6n+1)(a+1)^{6n}-(6n+1)a^{6n}=(6n+1)[(-a^2)^{6n}-a^{6n}]=(6n+1)[1-1]=0$$

Por lo tanto, $y^2=(x-a)^2$ divide $p(x)$ . Como el cálculo no dependía de la raíz de $x^2+x+1$ que hemos utilizado, se deduce que $(x^2+x+1)^2$ divide $p(x)$ .

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En el ámbito de los polinomios, todo lo que se puede demostrar con las derivadas se puede demostrar con el teorema del binomio.