Vamos a dejar
$$y=\sqrt{5+\sqrt{5-{\sqrt{5+{\sqrt5-\cdots}}}}}$$
y
$$z=\sqrt{5-\sqrt{5+{\sqrt{5-{\sqrt5+\cdots}}}}}$$
y se supone que ambos límites existen. Tenga en cuenta que
$$y^2=5+z\quad\text{and}\quad z^2=5-y$$
Por lo tanto
$$\begin{align}
y^2-y&=(5+z)-y\\
&=5-(y-z)\\
&=5-{y^2-z^2\over y+z}\\
&=5-{(5+z)-(5-y)\over y+z}\\
&=5-{z+y\over y+z}\\
&=4
\end{align}$$
Añadido 5/6/14: pensé en seguir adelante y añadir una prueba de que los dos límites que en realidad no existen. No estoy seguro de que este es el más simple prueba -- voy a estar feliz de ver algo más pulido -- pero aquí va.
Definir la secuencia de $y_n$'s$y_n=\sqrt{5+\sqrt{5-y_{n-1}}}$$y_1=\sqrt{5+\sqrt{5}}$, y deje $z_n=\sqrt{5-y_n}$. Es fácil demostrar (por inducción) que $2\lt y_n\lt4$ todos los $n$, por lo que es suficiente para mostrar que la secuencia de $y_n$'s tiene un límite.
Voy a hacer demostrando que es una secuencia de Cauchy, y voy a hacer que, mostrando que $\sum|y_n-y_{n-1}|$ converge.
Tenemos $y_n^2-5=\sqrt{5-y_{n-1}}$, por lo tanto
$$y_n^2-y_{n-1}^2=\sqrt{5-y_{n-1}}-\sqrt{5-y_{n-2}}={y_{n-2}-y_{n-1}\over\sqrt{5-y_{n-1}}+\sqrt{5-y_{n-2}}}$$
por lo tanto
$$|y_n-y_{n-1}|={|y_{n-2}-y_{n-1}|\over|y_n+y_{n-1}|\left(\sqrt{5-y_{n-1}}+\sqrt{5-y_{n-2}}\right)}\lt{|y_{n-1}-y_{n-2}|\over|2+2|(1+1)}={1\over8}|y_{n-1}-y_{n-2}|$$
donde hemos utilizado las desigualdades $2\lt y_n\lt 4$ (para todos los $n$) en el denominador. De ello se desprende que $\sum|y_n-y_{n-1}|$ está delimitado por una serie geométrica con relación $1/8$, por lo tanto converge.
