¿Son los núcleos únicos para los homomorfismos?

Question

Me gustaría preguntar si dos homomorfismos diferentes pueden compartir el mismo núcleo.

Por ejemplo, para el núcleo $n \mathbb{Z} $ ¿es posible encontrar otros homomorfismos que no sean la función que asigna los enteros a las clases de residuos modulo $n$ ? Gracias.

Answer 1

No, un homomorfismo no está determinado únicamente por su núcleo. Consideremos los siguientes dos homomorfismos de $\mathbb{Z}_2$ a $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ : un envío $1$ a $(0,1)$ y el otro enviando $1$ a $(1,0)$ . Ambos son homomorfismos con el mismo núcleo al mismo grupo, pero son homomorfismos diferentes.

Answer 2

A menos que $G$ tiene una estructura "simple", hay muchos isomorfismos $:G \to G$ y todos ellos tienen un núcleo de $\{e_G\}$ .

Answer 3

El homomorfismo de identidad y el homomorfismo $n\mapsto -n$ de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}$ ¿tiene...?... núcleo.

Answer 4

Piensa en $k\mapsto\exp(\frac{2k\pi}n\mathbf i):\Bbb Z\to\Bbb C^\times$ que tiene un núcleo $n\Bbb Z$ .