Aquí está una áspera explicación de lo que hacen. Empezar con un integrante más de una variable compleja $K=k+iz$ a lo largo de un camino de $\mathcal C_0$ (en el complejo plan), que siguen el eje real (que es un camino que se caracteriza por $z=0$$k$$-\infty$$+\infty$). Llamar a $I$ integral sin la prefactors, por lo tanto, comenzar con
$$ I = \int_{\mathcal C_0} dK \frac{Ke^{iK\Delta x}}{\sqrt{K^2+m^2}}.$$
Ahora el integrando es analítica en todas partes, pero en los cortes, así que usted puede cambiar el contorno de la forma que usted desee, siempre y cuando no se vaya a través de la corte, y el todavía integral converge.
La forma habitual de hacer este tipo de integrales es para cambiar el contorno de tal manera que usted sólo tiene que integrar alrededor de los postes o a lo largo de los cortes. Pero si usted quiere hacer eso, usted necesita que el contorno tiene una contribución de$z$$\pm \infty$, dependiendo de si usted va a lo largo del corte en la parte superior/inferior a la mitad del plan. Ahora puedes ver el papel de la $\Delta x$: si $\Delta x>0$, $e^{iK\Delta x}$ converge/diverge si $z\to\pm\infty$, por lo que no se puede integrar a lo largo de la parte inferior de corte (la integral es divergente), pero puede para el corte superior. Esa es la manera de obtener el contorno en el gráfico, vamos a llamar a $\mathcal C_1$.
Para hacer la integral, que ahora tiene que parametrizar $\mathcal C_1$ por las dos integrales : en primer lugar la parte de la izquierda de la corte: $k=-\epsilon$$z$, al pasar de $\infty$$m$; y la segunda parte a lo largo de la derecha de la corte: $k=\epsilon$$z$, al pasar de $m$ a $\infty$. $\epsilon$ es un infinitesimal número que usted tiene que enviar a cero en algún momento.
Con todo eso, usted debería ser capaz de recuperar el resultado que usted está buscando.
