El tiempo de espera hasta que la secuencia se termina es infinito. De hecho, no sólo es el valor esperado de $\text{min}\{t : Y_t>(p+\delta)t\}$ infinito para cualquier $\delta>0$, pero incluso el valor esperado de $\text{min}\{t : Y_t > pt + \delta\}$ es infinito.
Esto puede ser demostrado mediante el teorema de muestreo opcional (también conocido como opcional detener teorema). Definir $\tau = \text{min}\{t : Y_t > pt + \delta\}$, y definir $Z_t=Y_t-pt$. Tenga en cuenta que
- $Z_t$ es una martingala, y
- Por definición, $Z_\tau\geq\delta>0$ y, por tanto,$E[Z_\tau]>0$.
Si $E[\tau]<\infty$, entonces el teorema de muestreo opcional implicaría que $E[Z_\tau]=Z_0=0$, lo cual es una contradicción.
La situación para el tiempo aleatorio usted menciona en el OP es aún más grave.
Deje $K_t$ denotar el caso de $Y_t>(p+\delta)t$ y definen $\sigma=\text{min}\{t : K_t\}$. Se puede demostrar que $P[\sigma=\infty]>0$, lo que significa que este umbral es posible que nunca se cruzaron.
Brevemente, una vez más, podemos hacer esto por la contradicción. En primer lugar, asumir $P[\sigma<\infty]=1$, y deje $\sigma_2$ denotar la segunda vez que
$K_t$ se produce.
Tenga en cuenta que, para cualquier $t$ si $Y_t-Y_\sigma>(p+\delta)(t-\sigma)$, entonces, desde la $Y_\sigma>(p+\delta)\sigma$ por supuesto, debe ser el caso que $Y_t>(p+\delta)t$. Así que, por la independencia de la $Y_t$, se deduce que
$P[\sigma_2-\sigma_1<\infty]=1$ e lo $P[\sigma_2<\infty]=1$ también. Y lo mismo va para $\sigma_3$$\sigma_4$, y así sucesivamente, lo que significa que el evento $K_t$ se produce infinitamente a menudo con una probabilidad de $1$.
Sin embargo, dado que cada una de las $Y_t$ es la suma de ensayos de Bernoulli independientes, entonces se puede demostrar (es decir, Chernoff límites) que existe una constante fija $C$ (dependiendo de las constantes $p$$\delta$) tales que
$$P[K_t]=P[Y_t-pt>\delta t]<e^{-Ct}.$$
De esto se sigue que
$$\sum_{t=1}^\infty P[K_t]<\infty,$$
y así por el Borel-Cantelli lema, con una probabilidad de $1$, $K_t$ sólo se produce finitely a menudo. Por lo tanto, tenemos una contradicción.
Como para el cálculo de las probabilidades de que cada paso es el último (es decir, las probabilidades de $P[\sigma=t]$), no puedo pensar de cualquier manera fácil de hacer esto sin hacer una simulación. Eso no quiere decir que no hay ninguna manera de hacerlo, por supuesto.
Si usted está buscando para obtener más información relativa a esta pregunta, sugiero que se busca en el continuo de la versión de el proceso, que sería el movimiento browniano con deriva. Me imagino que usted puede encontrar en alguna parte un cálculo de la probabilidad de que el movimiento browniano con deriva cruces de este tipo de un umbral.
Para agregar: si usted está interesado en valores numéricos, que son bastante fáciles de calcular, al menos para los moderados valores de $T$. Aquí es un simple R la función que calcula la probabilidad de escape, así como la distribución condicional condicional en la supervivencia hasta el tiempo n:
simProb<-function(p,n,delta){
pp<-c(p,1-p)
thresh<- floor(1+(p+delta)*(1:n))
x<-1
res<-rep(0,n)
rsum<-1
for(i in 1:n){
x<-convolve(x,pp,t="o")
if(length(x)>thresh[i]){
res[i]<-sum(x[(thresh[i]+1):length(x)])*rsum
rsum<-rsum-res[i]
x<-x[1:(thresh[i])]
x<-x/sum(x)
}
}
list(p=res,x=x)
}
Aquí es lo que las probabilidades de supervivencia son específicos para algunas constantes:
plot(1-cumsum(simProb(0.6,1000,0.01)$p),type="l",ylim=c(0,0.4))
![enter image description here]()
También se puede examinar la probabilidad de supervivencia en función de $\delta$ como este:
delt<-0.001*(1:399)
surv<-sapply(delt, function(delta)1-sum(simProb(0.6,1000,delta)$p))
plot(delt,surv,type='l')
![enter image description here]()
Usted puede ver cómo discontinuo, esto es: la razón es que, desde el $Y_t$ $t$ son de valor entero la condición de salida $Y_t>(p+\delta)t$ es efectivamente discontinuo como una función de $t$. Por esta razón, es poco probable de que no es una buena fórmula para la probabilidad de supervivencia hasta el momento de $t$.
