Diferenciabilidad de una función $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ en $(0,0)$

Question

Estoy intentando resolver esta pregunta de un examen pasado.

Determine cómo la diferenciabilidad de $f(x,y)$ depende del parámetro real $\alpha > 0$

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\log(1+|x|^\alpha y^2)}{x^2+y^4} & \text{if } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0)\end{array} \right.$$

Es fácil ver que $f$ es diferenciable en todo $(x,y) \neq (0,0) $ para todos $\alpha >0$ .

Así que tenemos que estudiar lo que sucede en $(0,0)$ .

Como hemos $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$ la definición de diferenciabilidad se reduce a mostrar que el límite:

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\log(1+|x|^\alpha y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^4)} $$

es igual a $0$ .

Utilizando la desigualdad de Young para los productos, sabemos que esto es así para todos los $\alpha > 2$ .

En la curva $x=y^2$ el límite anterior no es $0$ para $\alpha < \tfrac{3}{2}$ .

No estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí. He intentado otros caminos, pero sin éxito.

Agradecería cualquier consejo o indicación.

Answer 1

La función será diferenciable siempre que $\alpha>\frac32$ . He aquí algunas pistas: Utilice la aproximación de Taylor de primer orden de $\log(1+u)$ (esto supongo que ya lo has hecho), y luego piensa en una sustitución de coordenadas polares modificada $x=r\cos\theta$ , $y^2=r\sin\theta$ .

Es un poco divertido, en general, considerar la función $$f(x,y)=\begin{cases} \frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{|x|^\gamma+|y|^\delta}, & (x,y)\ne (0,0) \\ 0\, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$ y determinar para qué valores de $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ es continua y entonces diferenciable.