Supongamos que una expansión de Taylor alrededor del origen existe positivos radio de convergencia, es decir $$f_n^{-1}(y)=:g(y)=\sum_{k=0}^\infty a_ky^k.$$ Since $g(0)=0$ it follows that $a_0=0$. Consider the relation $$y=g(y)^n+g(y)=\left(\sum_{k\ge 1}a_ky^k\right)^n+\sum_{k\ge 1}a_ky^k $$ which "simplifies" to $$ y= \sum_{k\ge 1}a_ky^k+\sum_{m\ge n}\left(\sum_{k_1+\ldots k_n=m}a_{k_1} \ldots a_{k_n}\right)y^m.$$ Since the latter sum contains monomials of degree $\ge n$ we see right away that $a_1=1$ and $a_2=\ldots a_{n-1}=0$.Let $$c_m= \sum_{k_1+\ldots k_n=m}a_{k_1} \ldots a_{k_n}.$$ The only way $n$ indices $\ge 1$ sum up to $n$ is that $k_1=\ldots k_n=1$, whence $c_n=1$, yielding the coefficient $a_n+1$ for $y^n$ on the RHS. Since this must vanish we have $a_n=-1$.
Continuar como esto podemos ver que para $n<m<2n-1$ todos los términos en la suma definición de $c_m$ involucrar sólo a los productos de $a_j$$1\le j <n$, por lo $a_m=0$$n<m<2n-1$. Por otro lado $c_{2n-1}=n\cdot (-1)$ y desde $a_{2n-1}+c_{2n-1}=0$ obtenemos $a_{2n-1}=n$.
Después de esto las cosas se ponen más complicadas, pero en principio uno puede ir y obtener expresiones para más coeficientes. Todos en todos, asumiendo $f_n^{-1}$ tiene una expansión de Taylor alrededor de cero positivos radio de convergencia, se debe mirar como $$g(x)=x-x^n+nx^{2n-1}+\ldots $$ (Actually, $a_{2n}$ también debe desaparecer..)
