Integración ambigua

Question

Me había topado con la siguiente pregunta:

¿Si sabemos que $\int_0^9 f(u)du = 10$ y $\int_0^3 f(u)du = 14$ entonces lo que debe el valor de %#% ser #%?

La razón que este valor sería $\int_0^3 xf(x^2)dx$ porque si $30$ y $\int_0^3 f(u)du = \int_0^3 f(x)dx$ entonces evaluar para $\int_0^3 f(x^2) dx$ sería lo mismo que evaluación del $x$ $0$. Por lo tanto $9$. Entonces todo lo que hacemos es multiplicar el valor de $\int_0^3 f(x^2)dx = \int_0^9 f(u)du = 10$ 3 cuando estamos evaluando la integral completa. Así terminamos con el % de respuesta $f(x^2)$.

¿Sería correcto este razonamiento?

Answer 1

Comienzan con $$\int_0^3 xf(x^2) dx,$ $ y realizar el #% sustitución $u$ #% % entonces $u = x^2$, que $du = 2x dx$ $ tenga en cuenta que en su pregunta, usted afirmó algo diferente que la primera igualdad. Usted afirmó que $$\frac{1}{2} \int_0^3 f(x^2) 2xdx = \frac{1}{2}\int_0^9 f(u) du = 5.$ $ que no es verdad. (Lo puse en rojo para recalcar que no es una afirmación verdadera).

Volviendo a la instrucción anterior, esto significa que el %#% $ #%

Answer 2

El cambio de la variable $u=x^2$ $du=2xdx$ da

$$\int_0^3 xf(x)\,dx={1\over2}\int_0^9f(u)\,du={10\over2}=5$$

La otra pieza de información, $\int_0^3f(u)\,du=14$, es irrelevante. Uno se pregunta por qué fue mencionado.

Answer 3

No, usted necesita cambiar las variables, definir $y=x^2$, que $dy = 2 x \, dx$: $$ \int_0^{3} x f(x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{9} f(y) \, dy, $ $ y entonces tienes la respuesta.