Continuidad del verde ' función

Question

Supongamos $\Omega \subset \mathbb C$ es una región (abierto y conectado) y vamos a $$g(z,z_0)=G(z,z_0)-\log|z-z_0| $$ be its Green's function with pole at $z_0 \en \Omega$. Here $G(z,z_0)$ is the solution to the Dirichlet problem in $\Omega$ with boundary values $\log|\zeta-z_0|$.

Estoy tratando de resolver el siguiente problema (de Ahlfors):

Demostrar que $g(z,z_0)$ es a la vez continuo en ambas variables, para $z \neq z_0$. Sugerencia: Aplicar el máximo-mínimo de principio a $G(z,z_0)$.

Sé que $\log|z-z_0|$ es a la vez continuo en ambas variables para $z \neq z_0$, siendo la composición de funciones continuas. Así es mostrar la misma para $G(z,z_0)$. Hasta ahora sé que $G(z,z_0)$ es simétrico y armónico en cada variable.

Cómo puedo probar que $G(z,z_0)$ es a la vez continuo en ambas variables para $z \neq z_0$? Yo no puedo ver cómo seguir la pista por desgracia.

Gracias!

Answer 1

Que $\lvert z - z_0\rvert \geqslant 3\delta$ y Supongamos que $D_{3\delta}(z) \cup D_{3\delta}(z_0) \subset \Omega$. En el siguiente, asumimos que el $\lvert w-z\rvert < \delta$ y $\lvert z_1 - z_0\rvert < \delta$. Así que tenemos $z_1,\,w \in \Omega$, lo suficientemente lejos de la frontera y lo suficientemente lejos. Entonces

$$\begin{align} \left\lvert G(w,z_1) - G(z,z_0)\right\rvert &= \left\lvert \left(G(w,z_1) - G(w,z_0)\right) + \left(G(w,z_0) - G(z,z_0) \right)\right\rvert\\ &\leqslant \lvert G(w,z_1) - G(w,z_0)\rvert + \lvert G(w,z_0) - G(z,z_0)\rvert\\ & \leqslant \sup_{\zeta\in\partial\Omega} \left\lvert G(w,z_1) - G(w,z_0)\right\rvert + \sup_{\zeta\in\partial\Omega} \lvert G(w,z_0) - G(z,z_0)\rvert. \end {Alinee el} $$

$G(\cdot\,,z_1) - G(\cdot\,,z_0)$ es la solución para los valores límite

$$\log \lvert\zeta-z_1\rvert - \log \lvert\zeta-z_0\rvert,$$

y $G(w,\,\cdot) - G(z,\,\cdot)$ es la solución para los valores límite

$$\log \lvert \zeta - w\rvert - \log \lvert \zeta - z\rvert.$$

Elegir $\lvert z_1-z_0\rvert$ y $\lvert w - z\rvert$ pequeño lo suficiente, puede hacer que los valores límite arbitrariamente pequeño.