Cómo parametrizar la curva $y^2 = x^2(x+3)$

Question

Me da vergüenza preguntar esto, pero no he encontrado la manera.

Quiero escribir la curva $y^2 = x^2(x+3)$ como

$$y=f(t) \quad \quad x=g(t) \quad \quad t \in \mathbb R$$

Supongo que tengo que hacer algo como $x = t-3$ pero no estoy seguro.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Establecer $x=t^2-3$ obtenemos $y = (t^2-3)t$ .

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La motivación de esta elección es la siguiente:

Tomando la raíz cuadrada, tenemos $y=x\sqrt{x+3}$ . Por lo tanto, para un bonito queremos $x+3$ para ser un cuadrado perfecto.

Answer 2

Esto es estándar: la curva cúbica $y^2=x^2(x+3)$ tiene un punto doble en(0,0), por lo que cualquier línea que pase por el origen interpondrá la curva en un único tercer punto. Por lo tanto $y=tx\,$ y sustituir en la ecuación. Obtendrás la ecuación del tercer punto de intersección de la recta $y=tx$ con la curva cúbica: $$ (t^2-3)x^2=x^3,\enspace\text{whence}\enspace\begin{cases}x=t^2-3\\y=t(t^2-3)\end{cases} $$ El doble punto $(0,0)$ se obtiene dos veces, para $t=\pm \sqrt 3$ .