Que $k$ un campo y que $A \subset B$ dos finitamente generados $k$-álgebras. Demostrar que la contracción de cualquier ideal máximo de $B$ es un ideal maximal de $A$.
¡Muchas gracias otra vez!
Respuesta
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Aquí es un esquema de una prueba de un hecho más general que sí. Déjeme saber si usted necesita más detalles.
Si $\varphi: A \to B$ es un anillo mapa entre el $k$-álgebras de donde $B$ es finitely generado, entonces, la preimagen de un ideal maximal en $B$ es un ideal maximal en $A.$
Prueba:
- Para cualquier anillo mapa de $\phi:R \to S$ e ideal $J\subseteq S$ hay una natural inyectiva mapa de $$\phi^*: \dfrac{R}{\phi^{-1}(J)} \to \dfrac{S}{J} \ : \ r + \phi^{-1}(J) \mapsto \phi(r) +J.$$
- Zariski del Lema: Si $k\subseteq L$ es una extensión de campo y $L=k[x_1,\ldots, x_n]$ algunos $x_i\in L$ $L$ es finito dimensionales como un $k$ espacio vectorial. (es decir, Para una extensión de campo, "anillo finito" $\implies$ "módulo" finita).
- Hay una inyección de $k\to A/I$ para cualquier ideal $I$ $A.$
- Si $K\subseteq L$ es un campo finito de extensión y $R$ es un anillo tal que $K\subseteq R \subseteq L$ $R$ es un campo así.
El abuso de notación un poco de la relación de nuestra inyecciones como subconjunto de las inclusiones, y para cualquier ideal maximal $\mathfrak{m}\subset B$ tenemos la situación $$k\subseteq \frac{A}{\varphi^{-1}( \mathfrak{m})} \subseteq \frac{B}{\mathfrak{m}}.$$
Desde $B$ es un finitely generadas $k$ álgebra, por lo que es $\dfrac{B}{\mathfrak{m}}.$ Por Zariski del lexema tenemos la situación del punto 4 anterior, por lo $\varphi^{-1}(\mathfrak{m})$ es un ideal maximal.
