Pregunta. Puede que la función de $$\mathrm{id} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \qquad \mathrm{id}_\mathbb{R}(x) = x$$
se expresa como una contables-combinación lineal de funciones de los indicadores de subconjuntos de a $\mathbb{R}$?
Observación. Una idea para construir una cosa es tratar de encontrar una función de $a : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $$(\forall x \in \mathbb{R}) \qquad x = \sum_{q \in \mathbb{Q}}a_q[x<q],$$
donde los corchetes denotan la Iverson soporte. Pero no es realmente claro cómo elegir el $a_q$'s.
Honestamente, creo que la respuesta es probablemente "no".
Ideas, cualquier persona?
Yo también estoy interesado en el (más sencillo?) el problema en el $\mathbb{R}$ es reemplazado por $\mathbb{R}_{\geq 0}$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Bananach
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Corrección para cada una de las $0\leq x<1$ algunos representación binaria (por ejemplo, digamos que usted uso para cada una de las $x$ la representación no contiene una infinita cola de).
Entonces $$ x=\sum_{j=1}^{\infty}2^{-j} [$j$\text{th dígitos en la representación binaria de }x\text{ es }$1$] $$ for any $0\leq x<1$, de la siguiente manera bastante directa de la definición de representaciones binarias.
Para extender a todos los de $\mathbb{R}_{\geq}$ sólo ampliar la suma de $-\infty$.
Para hacerla extensiva a todos los de $\mathbb{R}$ acaba de agregar la misma representación con los reemplazos $x\mapsto -x$ $2^{-j}\mapsto -2^{-j}$
