Demostrar que \( { a }^{ 2 }+2ab+{ b }^{ 2}\ge 0 \) sin utilizar \( (a+b) ^{ 2 }\).

Question

Demuestra que $${ a }^{ 2 }+2ab+{ b }^{ 2 }\ge 0,\quad\text{para todo }a,b\in \mathbb R $$ sin usar $(a+b)^{2}$.

Mi profesor me desafió a resolver esta pregunta desde cualquier lugar. Dijo que no puedes resolverla. Espero que puedas ayudarme a resolverla.

Answer 1

Alternativamente, puedes estudiar la familia de funciones

$$f_b(x) = x^2 + 2bx + b^2$$

Es fácil ver que el mínimo de esta función se obtiene en $x = -b$, por lo que el mínimo de $f_b$ es $0$ para todos los valores de los parámetros $b$, por lo tanto $\forall a, b, \quad a^2 + 2ab + b^2 \geq 0$

Answer 2

Define una función $$f(a,b)=a^2+2ab+b^2$$

y trata de encontrar sus puntos extremos:

$$\begin{cases} f'_a=0\\ f'_b=0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 2a+2b=0\\ 2b+2a=0 \end{cases}$$

$$\begin{cases} a+b=0 \end{cases}$$

Dado que $f''_{ab}{}^2-f''_{aa} f''_{bb}=4-4=0$ puede haber un extremo o no. Intenta calcular $f(a,-a-1)$, $f(a,-a)$ y $f(a,-a+1)$. Verás que

$$f(a,-a-1)=f(a,-a+1)=1\quad\text{pero}\quad f(a,-a)=0$$

Significa que esta función tiene infinitos mínimos locales que están en la línea $a+b=0$. Se deduce que

$$f(a,b)\geqslant 0$$

ya que $f$ es continua (y suave) como un polinomio.

Answer 3

Esta es más bien una explicación intuitiva:

La afirmación es clara cuando $a$ y $b$ tienen el mismo signo, porque el lado izquierdo es estrictamente positivo. Esto se reduce a demostrar

$a^2 + b^2 \geq ab + ba$.

para $a, b > 0$.

Piensa en términos de dinero. Supongamos que tienes una moneda de valor $a$ y una moneda de valor $b$. Asumamos además que $a \geq b$. Digamos que se te permite tomar $x > 0$ de una moneda y $y > 0$ de otra moneda. ¿Cómo maximizarías tu beneficio? Por supuesto, tomarías la mayoría de la moneda de mayor valor y la menor cantidad de la que tiene el valor más bajo. Esto sería mayor que tomar la menor cantidad de la moneda de mayor valor y la mayoría de la moneda de menor valor. Ahora toma $x = a$ e $y = b$.

Answer 4

Caso 1. Si tanto $a$ como $b$ son positivos, entonces cada término $a^2, 2ab, b^2$, son positivos. Por lo tanto $a^2 + 2ab + b^2 > 0.

Caso 2. Si tanto $a$ como $b$ son negativos, entonces también cada término $a^2, 2ab, b^2$, son positivos. Por lo tanto $a^2 + 2ab + b^2 > 0.

Caso 3. Si uno de $a, b$ es positivo y el otro es negativo, entonces en este caso, cambiando uno de sus signos es suficiente para mostrar $ a^2 - 2ab + b^2 > 0$, donde $a, b$ ambos son positivos. Entonces, sin pérdida de generalidad, asumimos $ a> b. Aquí hay una prueba pictórica de ese hecho.

Answer 5

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $0<-b

Multiplicar un número positivo por el factor de escala positivo $r=\frac a c>1$ tiene más efecto en números positivos grandes que en números positivos pequeños. Así que

$$ra-a>rc-c$$

en otras palabras

$$a^2/c-a>a-c$$

al multiplicar por $c$ obtenemos

$$a^2-ac>ac-c^2$$

o

$$a^2+2ab+b^2>0$$

(la desigualdad es estricta porque descartamos el caso trivial $c=a$ desde el principio)