Multicelular obligado en polinomios de Jacobi en el plano complejo y grande $n$

Question

Queridos matemáticos y los físicos teóricos,

Soy un físico teórico y estoy molestando a ustedes ya que necesito saber algunas asintótica y analítico de las propiedades de los polinomios de Jacobi $P^{(A,B)}_n(z)$ (donde el discreto índice $n$ está relacionado con el momento angular y, en "variables físicas", $z=\cos\Theta$) en el plano complejo como para grandes $n$.

Antes de poner por escrito mis dos preguntas ( $Q_1$ $Q_2$ ), permítanme explicar un caso más sencillo en el que la respuesta es conocido por el polinomio de Legendre $P_n(z)$. Es decir, en un simple (no estándar), el problema que iba a entrar en la función de Legendre de orden $n$: $P_n(z)$ donde, en coordenadas Físicas, $z=\cos(\Theta)$ $n$ es el "el impulso angular orbital". Dos propiedades que son de gran ayuda en el caso estándar son los límites en la función de Legendre cuando es analíticamente continuó la compleja $z$-plano y al $n$ es muy grande. Las propiedades que son muy útiles son:

• La primera característica tiene que ver con un límite en la función de Legendre como el fin de $n \to \infty$): $$| P_n(\cos \Theta) | < n^{-1/2}e^{ n | \text{Im }\Theta | }$$ donde $| x |$ es el valor absoluto de a $x$. Así que cuando $n$ es muy grande, uno obtiene una exponencial obligado en los términos de la orden de $n$ de los Jacobi polinomio y el (valor absoluto) de la parte imaginaria de $\Theta$ (así como la raíz cuadrada de 1/$n$).

• La segunda tiene que ver con el comportamiento de $P_n(z)$ $|z|\to\infty$: $P_n(z) \sim c_n z^n$

Me gustaría realmente necesita similares propiedades de $P^{(-q-p,-q+p)}_n(z)$ donde $p$ es un número entero y $q$ puede ser entero y la mitad de entero (el más importante de la situación para mí ser $q$=1/2 ). A saber:

• Hay un límite, cuando $n \to \infty$ , $P^{(-q-p,-q+p)}_n(z)$ tal como $ a $ P^{(-q,-p,-q+p)}_n(\cos \Theta) | < n^{-1/2}e^{n|\text{Im }\Theta|} ?$$
• ¿Hay un límite en $P^{(-q-p,-q+p)}_n(z)$ $|z|\to\infty$ como $P^{(-q-p,-q+p)}_n(z) \sim c^{(p,q)}_n z^n$ ? Si sí, ¿cómo se $c^{(p,q)}_n$ se comportan asintóticamente?

Yo realmente apreciaría si usted me podría ayudar incluso con algunas referencias (que un físico es capaz de comprender).

Answer 1

Para tu segunda pregunta, la segunda fórmula en "Definiciones" en la página de la wikipedia, el término con el mayor poder de $n$ $P_n^{(\alpha,\beta)}(z)$ es

$$ \frac{\Gamma(\alpha + \beta + 2n + 1)}{n! \Gamma(\alpha + \beta + n + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^n \sim \frac{\Gamma(\alpha + \beta + 2n + 1)}{2^n n! \Gamma(\alpha + \beta + n + 1)} z^n $$

Tomando $\alpha = -q-p$ $\beta = -q+p$ como en tu pregunta, obtenemos

$$ P_n^{(-q,-p,-q+p)}(z) \sim \frac{\Gamma(-2t + 2n + 1)}{2^n n! \Gamma(-2t + n + 1)} z^n $$

como $|z| \to \infty$. Stirling fórmula nos dice que los coeficientes se comportan asintóticamente como

$$ \frac{\Gamma(-2t + 2n + 1)}{2^n n!\Gamma(-2t + n + 1)} \sim 2^{n-2t} \sqrt{\frac{1}{\pi n}} $$ como $n \to \infty$.