Número posible de bombas en el juego del buscaminas

Question

Esta pregunta es sobre el juego del buscaminas, y la verdad es que no sé cómo pensar en esto.

Supongamos que estamos jugando y ya hemos abierto un cierto número de celdas. Entonces las celdas cerradas que son adyacentes a cierto conjunto de celdas abiertas forman un grupo de celdas, que yo llamo racimos. Aquí hay algunos ejemplos de clusters (celdas cerradas dentro de los bordes negros):

Para cada grupo $C$ podemos considerar el conjunto $M(C)$ del posible número de minas que puede contener. Por ejemplo, en la imagen anterior, para el cluster adyacente a las celdas con números 2 y 3, este conjunto es $\{3, 4, 5\}$ .

Supongamos que tenemos alguna agrupación $C$ y $a,b$ son respectivamente el número mínimo y máximo posible de minas que puede contener, y además $b\geq a+2$ . ¿Es cierto que para cada número entero $c\in(a,b)$ puede contener exactamente $c$ ¿Minas?

Answer 1

Como contraejemplo, considere la siguiente agrupación:

                                              

Como es imposible que sólo dos de las tres banderas más bajas compartan una mina común, o bien se coloca una mina entre las tres banderas, o bien se coloca una mina por cada bandera. Por lo tanto, esta agrupación puede contener $a = 13$ minas, o $b = 15 \geq a+2$ minas.