¿Tiene la teoría de las categorías una perspectiva interesante sobre la frase "bajo las operaciones inducidas"?

Question

La teoría de categorías suele dar contexto o perspectiva a frases que son omnipresentes en las matemáticas. Ahora solemos hacer afirmaciones como "el conjunto $X$ se convierte en un [lo que sea] bajo las operaciones inducidas ." Por ejemplo:

1. Dada una teoría algebraica $T$ y un $T$ -Álgebra $X$ el conjunto de todas las funciones $k \rightarrow U(X)$ forma una estructura algebraica bajo las operaciones inducidas, donde $k$ es un conjunto y $U$ es la notación para el functor de conjunto subyacente. Esto resulta satisfacer la propiedad universal de $X^k.$

2. Dado un grupo abeliano $X$ el conjunto de todos los con soporte finito funciones $k \rightarrow U(X)$ forma un grupo abeliano bajo las operaciones inducidas. Satisface la propiedad universal de `el coproducto de $X$ con ella misma $k$ muchas veces".

3. Una vez más, comenzando con un grupo abeliano $X$ el conjunto de endomorfismos de $X$ de vuelta a sí mismo forma un grupo abeliano bajo las operaciones inducidas.

Pregunta. ¿Tiene la teoría de las categorías una perspectiva interesante sobre la frase "bajo las operaciones inducidas"?

Answer 1

La pregunta es demasiado amplia. Por lo tanto, mi respuesta también es amplia. Permítanme dar sólo algunas nociones clave que se ajustan a los ejemplos mencionados

• Creación de límites
• Hogar interno
• Categoría topológica
• Fibración de Grothendieck

Answer 2

Estoy de acuerdo en que esta pregunta es demasiado amplia. Creo que está apuntando a más de un fenómeno y no estoy seguro de cuál es el que más le interesa, así que permítame decir algunas cosas y podrá decirme qué es lo que realmente le interesa.

Para empezar, dejemos que $G$ sea un objeto de grupo en una categoría $C$ con productos finitos, y que $X$ sea un objeto. Entonces $\text{Hom}(X, G)$ adquiere naturalmente la estructura de un grupo "bajo las operaciones inducidas". ¿Por qué? Porque la incrustación de Yoneda $G \mapsto \text{Hom}(-, G)$ es continua, y en particular preserva los productos finitos, y los funtores que preservan los productos finitos envían objetos de grupo a objetos de grupo. (¿Y por qué? Porque la definición de un objeto de grupo sólo implica algunas ecuaciones entre morfismos entre productos finitos de un objeto. Todos los funtores preservan las ecuaciones entre morfismos, así que lo único que queda por preservar son los productos).

Esto se generaliza en varias direcciones. Por ejemplo, se puede sustituir "objetos de grupo" por "modelos de una teoría de Lawvere" y el argumento es exactamente el mismo. También es cierto que los funtores monoidales envían objetos monoidales a objetos monoidales; ésta es una forma de explicar por qué, por ejemplo, el functor de espacio vectorial libre envía monoides a álgebras.

Su tercer ejemplo es un poco diferente. Allí la observación clave es que la categoría de grupos abelianos está enriquecida sobre sí misma, así que de hecho si $A, B$ son dos grupos abelianos, entonces $\text{Hom}(A, B)$ también es naturalmente un grupo abeliano. Si además nos fijamos en los endomorfismos, ocurre algo adicional: $\text{Hom}(A, A)$ no sólo es un grupo abeliano, sino que, de hecho, es un "monoide enriquecido en grupos abelianos", que no es más que una forma muy indirecta de decir un objeto monoide en grupos abelianos, o un anillo.

Hay otra cosa que podrías estar señalando y que tiene que ver con el hecho de que una construcción teórica de conjuntos acabe teniendo no sólo una estructura extra sino una propiedad universal. En tu primer ejemplo es sólo la observación de que los funtores olvidadizos tienden a preservar los límites; por ejemplo, siempre que un funtor olvidadizo tiene un adjunto izquierdo, siempre preserva los límites.