Encontrar un límite sin expansión de la serie y l ' Hopital ' regla s

Question

Tengo que encontrar

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}$$

sin serie expansión ni regla de l'Hopital y am totalmente y completamente perdieron.

Acabé poniendo $x = 2y$ y llegar a

$$\lim_{y\to 0}\frac{1-\cos y-2\sin^2y\cos y}{\cos y\left(1-2\sin^2y\right)}\;,$$

que me da $0/1 = 0$, pero la contraportada del libro dice que la respuesta es $1/2$.

¿Cómo esto se resolvería sin el uso de extensiones de la serie ni la regla de l'Hopital?

Answer 1

Comienzan con $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$. Con simplificación un poco nuestra expresión se convierte en $$\frac{\sin x-\sin x\cos x}{\cos x\sin^3 x}.$ $ cancelar un $\sin x$. Terminamos con %#% $ #% ahora para el truco clave: multiplica arriba y abajo por $$\frac{1-\cos x}{\cos x\sin^2 x}.$. La parte superior se convierte en $1+\cos x$. Esto es $1-\cos^2 x$ y $\sin^2 x$ en la parte inferior cancela. Terminamos con $\sin^2 x$ $ ahora es sencillo, encontrar el límite desde $$\frac{1}{\cos x(1+\cos x)}.$ $\cos x\to 1$.

Answer 2

$\frac{\tan x - \sin x}{(\sin x)^3} = \frac{\sin x (\frac{1}{\cos x}-1)}{(\sin x)^3} = \frac{\frac{1}{\cos x}-1}{1-(\cos x)^2} = \frac{1}{\cos x} \frac{1-\cos x}{(1-\cos x)(1+\cos x)} = \frac{1}{\cos x(1+\cos x)}$