Orientación en un múltiple como una gavilla de

Question

Estoy pensando en la orientación de la conexión de un colector $M$ de dim $n$ como una gavilla.

Hay dos definiciones que podría utilizar, la primera es la gavilla asociados a la presheaf $$U\mapsto H_n(M,M-U;R).$$ La segunda es la gavilla de las secciones de los generadores de la fibration $R^*\to \tilde{M}_R\to M$ donde $R$ es un anillo y $R^*$ es el grupo discreto de unidades de $R$ $\tilde{M}_R$ $R$- orientable cubierta de $M$.

Tengo las siguientes preguntas:
1. Son las dos definiciones de la misma?
2. Teorema 3.26 de Hatcher parece traducir a que si $M$ es cerrado, entonces es orientable iff la orientación de la gavilla tiene una sección global que generan tallo-sabio, es decir, es una de las principales $\underline{R}$-módulo.
3. Lema 3.27 parece estar diciendo si $M$ está cerrada, la presheaf anteriormente es ya una gavilla.

Son estos correcta? Siéntase libre de decirme más cosas, o me den referencias.

Answer 1

(1) en Sus dos definiciones no pueden ser el mismo porque uno de ellos restringe a las unidades en $R$ y el otro no. Para ser más precisos, vamos a $F_0$ ser la presheaf de $R$-módulos de $U\mapsto H_n(M,M-U;R)$ y deje $F$ ser su sheafification. Deje $G$ ser la gavilla de continuo secciones del haz de $R$-módulos en $M$ cuya fibra,$x$$H_n(M,M-\{x\};R)$, y deje $G^*\subset G$ ser el subsheaf de las secciones que generan cada fibra. A continuación, $F$ es su primera gavilla, y $G^*$ es su segundo gavilla. Pero estos no son isomorfos; más bien, $F\cong G$. Para conseguir este isomorfismo, tenga en cuenta que hay un canónica mapa de $F_0\to G$ (dado un elemento de $H_n(M,M-U;R)$, lo limitan a $H_n(M,M-\{x\};R)$ por cada $x\in U$), y en este mapa induce un isomorfismo en tallos (desde cualquier punto arbitrariamente pequeños barrios en los que tanto $F_0$ $G$ evaluar a $R$, con el mapa siendo la identidad). Este mapa lo induce un isomorfismo después de sheafifying, dando un isomorfismo $F\to G$. Es $G^*$, lo que normalmente se conoce como la "gavilla de $R$-orientaciones", no $F$. Si te gusta, usted puede identificar a $G^*$ como subsheaf $F^*$ $F$ mediante el isomorfismo; puede ser descrito como la subsheaf de las secciones que generan cada tallo como un $R$-módulo (o, más elegante, como gavilla de isomorphisms de $\underline{R}$-módulos de $\operatorname{Iso}_{\underline{R}}(\underline{R},F)$). Mientras que $F\cong G$ canónicamente tiene la estructura de una gavilla de $R$-módulos, $F^*\cong G^*$ es simplemente una gavilla de $R^*$-conjuntos.

(2) Teorema 2.36(a) dice que si $M$ es cerrado, conectado, y $R$-orientable, entonces hay una sección global de $F_0$ que hace $F$ principal $\underline{R}$-módulo, es decir, (noncanonically) isomorfo a la constante gavilla $\underline{R}$ como una gavilla de $R$-módulos. Tenga en cuenta que Hatcher definición de "$R$-orientable" es exactamente eso $G$ es una de las principales $\underline{R}$-módulo (o, equivalentemente, que el $G^*\cong\operatorname{Iso}_{\underline{R}}(\underline{R},G)$ tiene una sección global), por lo que es trivial que en ese caso $F\cong G$ es también el principal. El trivial contenido del Teorema 2.36(a) es decir que la generación global de la sección de realidad, es ya una sección de la presheaf $F_0$.

(3) Lema 2.37 no acaba de decir que $F_0$ es una gavilla si $M$ está cerrada, debido a que $A$ que se requiere para ser un conjunto compacto, más que un conjunto abierto. Aquí es un ejemplo instructivo. Tome $M=S^1$ y deje $U\subset M$ ser un conjunto abierto, cuyo complemento es la countably infinito. A continuación, $U$ es un discontinuo de la unión de countably infinitamente muchas de intervalos, por lo $F(U)\cong R^\mathbb{N}$ (desde $F(V)=R$ para cualquier intervalo abierto $V\subset S^1$). Pero $F_0(U)$ puede ser calculada directamente a una suma directa de countably infinitamente muchas copias de $R$ (el punto clave es que el $H_0(M-U)$ es el $R$-módulo de $M-U$, que es contable). Por lo $F_0(U)\not\cong F(U)$, lo $F_0$ no es una gavilla.