Supongamos $X,Y$ son conjuntos tales que a $ \left| X \right| \leq \left| Y \right|, \left| Y \right| \leq \left| X \right|.$ $\left| X \right| = \left| Y \right| $
Prueba: Deje $f:X \to Y, g:Y \to X$ ser inyectiva funciones. A continuación, $\left| X \right| = \left| g[f[X]] \right|$ $\left| Y \right| = \left| g[f[Y]] \right|$ Deje $A=X, B=g[Y]$, y es suficiente para demostrar $\left| A \right| = \left|B \right|$
Considere la posibilidad de $F:\mathcal P \left({A}\right)\ \to \mathcal P \left({A}\right) $ ser definido por $ F(X) = (A-B) \cup g[f[X]] $. A continuación, $F$ es monotono y $\exists C\in \mathcal P \left({A}\right)\ $ tal que $C=(A-B)\cup g[f[C]]$
Definir $h: A \to B$ $$ h(x) = \left\{\begin{aligned} &g(f(x)) &&, x\in C =(A-B)\cup g[f[C]]\\ &x &&, x\in A-C \end{aligned} \right.$$
Supongamos $h[C] \cap h[A-C] \neq \emptyset $. A Continuación, $ \exists x [x \in A-C \wedge x\in C$ ](Contradicción).
Desde $h\restriction_{A-C}$ $h\restriction_C$ es inyectiva, se deduce que el $h$ es inyectiva.
Claramente, $h[A] \subseteq B$. Deje $b \in B = g[Y]$. A continuación, $b\in A-C \lor b\in C$. Si $b\in A-C,$$ b\in h[A-C],$, por definición, de $h$. Si $b\in C$,$b \in g[f[C]]$, es decir, $ \exists c\in C: b = f(g(c)) $ y, por tanto,$b\in h[C] $. Por lo $h$ es surjective.
Es mi prueba válida? Gracias.
