En teoría de turbulencia, ¿qué pasa si tomo media de espacio parte fluctuante?

Question

Según descomposición de Reynolds, campo de velocidad está dividida en dos partes de media y fluctuante de tiempo:

$$u_{({\bf x},t)}=\overline u_{(\bf x)}+u'_{({\bf x},t)}$$

saber que promedio de tiempo de parte fluctuante es cero $\overline u'=0$, pero ¿qué pasa si tomo media de espacio parte fluctuante?

Answer 1

A partir de la original de estadística descomposición de Reynolds donde $\mathbf{u}$ es un campo aleatorio, donde $<...>_s$ el valor de los estadísticos de la media y donde $\mathbf{u}^{(s)}$ es el azar de la fluctuación de campo, que vienen de la descomposición: \begin{equation} \mathbf{u}(\mathbf{x},t)=<u>_s(\mathbf{x},t)+\mathbf{u}^{(s)}(\mathbf{x},t) \end{equation} En su pregunta, aspecto que se supone que la turbulencia es estacionario y que la ergodic hipótesis sostienen que permiten asimilar el promedio estadístico para un tiempo promedio y el resultante de la descomposición: \begin{equation} \mathbf{u}(\mathbf{x},t)=<u>_t(\mathbf{x})+\mathbf{u}^{(t)}(\mathbf{x},t) \end{equation} donde $<u>_s(\mathbf{x},t)=<u>_t(\mathbf{x})$ y el tiempo promedio es definido por \begin{equation} <...>_t= \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} ... dt \end{equation} La definición de la distribución espacial promedio de más de un dominio acotado $\mathcal{D}$ del volumen de las $V$: \begin{equation} <...>_{\mathbf{x}}=\frac{1}{V}\int_{\mathcal{D}} ... d\mathbf{x} \end{equation} Para responder a su pregunta, el espacio, el promedio de los previamente definidos fluctuante parte es una función aleatoria de tiempo $\mathbf{U}$ expresó \begin{equation} <\mathbf{u}^{(t)}(\mathbf{x},t)>_{\mathbf{x}}=\mathbf{U}(t)\in \mathbb{R}^3 \end{equation} Desde $\mathcal{D}$ es limitada \begin{equation} lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} \frac{1}{V}\int_\mathcal{D}... d\mathbf{x} dt = \frac{1}{V} \int_\mathcal{D} ( lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} ... dt )d\mathbf{x} \end{equation} Y esto es el resultado de la propiedad de $\mathbf{U}$: \begin{equation} <\mathbf{U}(t)>_t=\mathbf{0} \end{equation}

Answer 2

Usted puede definir el espacio promedio de más de algún dominio en exactamente la misma manera como el tiempo promedio. Llamarlo $[U(t)]$. A continuación, una de Reynolds como de la descomposición es siempre posible: $$U(x,t) = [U(t)] + U'(x,t),$$ donde $U'(x,t)$ es la fluctuación alrededor del promedio espacial del campo.

Luego, tomando un promedio espacial de la anterior relación de obtener

$$[U(x,t)] = [[U(t)]] + [U'(x,t)] \rightarrow [U(t)] = [U(t)] + [U'(x,t)] \rightarrow [U'(x,t)] = 0$$

El promedio espacial de la fluctuación espacial alrededor de la media es cero.

Ahora no está claro cuál es su propósito en la pregunta, porque cuando se quiere transformar Navier Stokes mediante el promedio de los métodos, usted puede elegir el tiempo promedio (RANS) o en el espacio promedio (LES), pero no ambas. La relación que aquí se establece el vínculo entre el tiempo y el espacio de los promedios, pero no es muy útil.