Hace poco me planteé esta pregunta. Dada la DE de Lagrange $$[(1-x^2)u']'+\lambda u=0,$$ donde $\lambda$ es un parámetro real y $x\in[-1,1]$ es bien sabido que, si $\lambda=n(n+1)$ para algún número entero $n$ entonces obtenemos los polinomios de Legendre como soluciones de la DE.
Sin embargo, si consideramos un parámetro general $\lambda$ y consideramos la solución $u=u_\lambda$ que resuelve la ED con ese parámetro concreto, entonces es cierto que $u\in L^2([-1,1])$ ? Además, ¿tenemos todavía algunas condiciones de contorno como $$\lim_{x\to\pm 1}(1-x^2)u(x)=0?$$
Gracias por su atención. Saludos cordiales,
-Guido-
