Problema 4.6, I. Martín Isaacs ' teoría del carácter

Question

Deje $n>0$ y asumir que $\chi^{(n)} \in \mathrm{Irr}(G)$ por cada $\chi \in \mathrm{Irr}(G)$. Mostrar que $G = H \times A$ donde $A$ es abelian y $(|H|, n) = 1$.

$\chi^{(n)}$ está definido por $\chi^{(n)}(g) = \chi(g^n)$. $\mathrm{Irr}(G)$ es el conjunto de todos los caracteres irreducibles de de $G$.

Aquí están las sugerencias en el libro:

1. Deje $d = (|G|,n)$. Mostrar que no es una pérdida para asumir ese $(|G|/d,n) = 1$.

2. Deje $A = \bigcap_{\chi \in \mathrm{Irr}(G)} \mathrm{ker} \chi^{(n)}$. Mostrar que $A = \{g \in G | g^n=1\}$$|A| = d$.

3. Deje $H = \bigcap \{\mathrm{ker} \chi | \chi \in \mathrm{Irr}(G), \chi^{(n)} = 1_G\}$. Espectáculo $|G : H| = d$.

Sugerencia 1 y 2 son fáciles, y es fácil deducir el resultado de las sugerencias. Como para la pista 3, me han demostrado que $\{ g \in G | (o(g), n) = 1 \} \subseteq H$,$|G : H| \mid d$. Y yo estoy atrapado aquí.

Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Esto parece difícil! Creo que un argumento a lo largo de las siguientes líneas podría funcionar. Por desgracia implica inducida por los personajes, que están cubiertos en el Capítulo 5 de Isaacs libro, así que no puede ser la solución deseada.

Es suficiente para probar que $|H \cap A|=1$.

Desde $(|A|,|G|/|A|)=1$, por el Schur-Zassnhaus Teorema $A$ tiene un complemento $C$$G$, El irreductible de caracteres $\chi^{(n)}$ $\chi \in {\rm Irr}(G)$ ha $A$ en sus núcleos, por lo que corresponden a los caracteres irreducibles de de $G/A$. Desde $C \cong G/A$, el carácter $\chi^{(n)}_C$ corresponde a $\chi^{(n)}$ $G/A$ y por lo tanto es una irreductible carácter de $C$.

Considerar la inducida por el carácter $1_C^G$ y deje $\chi$ ser una irreductible constituyente de la misma. Entonces por Frobenius reciprocidad, $1_C$ es un constituyente de $\chi_C$. Ahora, desde la $(|C|,n)=1$$\psi \in {\rm Irr}(C)$,$\psi^{(n)} \in {\rm Irr}(C)$, lo $1_C$ es también un constituyente de $\chi^{(n)}_C$. Pero $\chi^{(n)}_C$ es irreductible, por lo $\chi^{(n)}_C = 1_C$ y, por tanto,$\chi^{(n)} = 1_G$.

Ya no trivial elemento de $A$ está en el núcleo de $1_C^G$, para cada una de las $1 \ne g \in A$, no es un constituyente $\chi$$1_C^G$$g \not\in \ker \chi$, y, por tanto,$g \not\in H$, lo $H \cap A = 1$ como se reivindica. (Así en el hecho de $C = H$.)