Cómo demostrar que la "esfera cuadrada" $$\tilde{S}^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^4+y^4+z^4=1\}$$ es un difeomorfismo a la norma $2$ -esfera $$S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^2=1\}?$$
Un mapa obvio entre los dos es $$F:S^2\to\tilde{S}^2,\quad F(x,y,z)=(x^2,y^2,z^2),$$ pero está claro que no es suryectiva, ya que sólo mapea a números no negativos. ¿Qué hacer?
Así es como se ve:
Yo pensaría en tener un globo dentro de una caja. Se infla el globo hasta que llena completamente la caja. Matemáticamente, imagina que el origen es el centro del globo y de la caja. Cada punto del globo se va a expandir directamente desde el origen hasta llegar a la caja.
Por lo tanto, para un punto $(x,y,z)\in S^2$ , tome el vector $<x,y,z>$ y lo escalamos por alguna constante $c> 0$ para que $(cx,cy,cz)\in \hat{S}^2$ . Creo que puedes averiguar cuál debe ser el mapa real.
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El mapa "obvio" para mí es el mapa de reescalado $\bar{S}^2 \to S^2$ , $(x,y,z) \to \frac{1}{r}(x,y,z)$ , donde $r(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ . No debería ser muy difícil demostrar que se trata de una biyección. Supongo que para demostrar que es un difeomorfismo habría que escribir cartas de coordenadas para ambas superficies.
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El escalado radial (desde el origen) es claramente suave. :)