Condiciones en $\beta$ en que el emparejamiento de seguimiento limitado a $\mathfrak{so}(V,\beta)$ es positiva (negativa) definida.

Question

Deje $V$ ser finito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Vamos $$\begin{equation} \left\langle\:,\:\right\rangle:\mbox{End}(V)\otimes\mbox{End}(V)\rightarrow \mathbb{R}\end{equation}$$ indicar que la vinculación se da por $\left\langle A,B\right\rangle = \mbox{Tr}(AB)$. Sabemos que este emparejamiento es $\mbox{GL}(V)$-invariante, simétrica, no degenerada, pero no definitiva (i,e. ni positiva definida ni negativo definitivo).

Se supone que $\beta:V\otimes V\rightarrow \mathbb{R}$ es no degenerada simétrica de emparejamiento. Recuerdan $\mathfrak{so}(V,\beta)\subset \mathfrak{gl}(V)$ está definido por $$\mathfrak{so}(V,\beta)=\left\{A\in\mathfrak{gl}(V)\:|\: \forall v,w\in V \: \beta(Av,w)+\beta(v,Aw)=0\right\}.$$ Sabemos que $\mathfrak{so}(V,\beta)$ es una Mentira subalgebra de $\mathfrak{gl}(V)$.

La pregunta: Establecer las condiciones en $\beta$ en virtud de que la restricción de la traza de emparejamiento (i,e. $\left\langle\:,\:\right\rangle$ restringido a $\mathfrak{so}(V,\beta)$) es positivo (también las condiciones para ser negativo) definitiva.

Mi intento: sabemos que, dada $\beta:V\times V\rightarrow \mathbb{R}$ un no-degenerada forma simétrica, para todos los $A\in \mbox{End}(V)$ existe una única $B\in \mbox{End}(V)$ que satisface $\beta(Av,w)=\beta(v,Bw)$ todos los $v,w\in V$.

La única $B$ como anteriormente se denota por a $A^{\dagger}$ y llamó a la transpuesta de a $A$ (con respecto al $\beta$).

La asignación de $A\rightarrow A^{\dagger}$ define lineal mapa de $(\cdot)^{\dagger}\mbox{End}(V)\rightarrow \mbox{End}(V)$ llama transposición (con respecto a $\beta$).

Por lo tanto, podemos considerar $$\mathfrak{so}(V,\beta)=\left\{A\in\mathfrak{gl}(V)\:|\: A=-A^{\dagger} \: (\mbox{transpose with respect to }\beta)\right\}.$$ En este sentido, hemos

1. Restricción de la traza de emparejamiento es positiva definida si $\mbox{Tr}(A^{\dagger}A)<0$ todos los $A\in \mathfrak{so}(V,\beta)$$A\neq 0$.
2. Restricción de la traza de emparejamiento es negativa definitiva si $\mbox{Tr}(A^{\dagger}A)>0$ todos los $A\in \mathfrak{so}(V,\beta)$$A\neq 0$.

Mi pregunta: Condiciones 1 y 2 dependen $\beta$. ¿La condición 1 y 2 de responder a la pregunta? Puedo caracterizar $A^{\dagger}$ en términos de $\beta$ de una mejor manera? Hay más condiciones específicas en $\beta$ a responder a la pregunta?

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\tr}{tr}$ Simétrica no degenerada formas bilineales son los determinados por la firma de $(q,p)$ donde $q$ $p$ son números enteros no negativos con $q+p = \dim V$. Más precisamente, existe una base de $V$ tal que la matriz que representa a $\beta$ en esta base tiene entradas $+1$ o $-1$ a lo largo de la diagonal y $0$ otros lugares: $$I_{p,q} = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & - I_q \end{pmatrix}$$ donde $I_n$ indica el $n \times n$ matriz identidad. Sylvester Ley de la Inercia establece que los enteros $(p,q)$ que dar el número de $+1$ $-1$ entradas se determina únicamente por la forma bilineal.

A partir de ahora, vamos a identificar a $V$ con $\mathbb{R}^n$ ($n = \dim V$) el uso de esta base. En virtud de esta identificación, la forma $\beta$ está dado por $(v,w) \mapsto v^T I_{p,q} \, w$. Dado lineal mapa de $A$, $\beta(Av, w)+\beta(v,Aw) =0$ definición de $\mathfrak{so}(V, \beta)$ se traduce en la siguiente condición en la matriz que representa a $A$ (que yo también denotan $A$): $$(Av)^T I_{p,q} \, w + v^T I_{p,q} \, (w) \qquad \text{para todo } v,w$$ que es equivalente a $A= - (I_{p,q})^{-1} A^T \, I_{p,q}$. Para una determinada firma de $(p,q)$$p+q=n$, el conjunto de $n\times n$ matrices de satisfacer esta igualdad es denotado $\mathfrak{so}(p,q)$. (La de arriba de construcción de la realidad le da una mentira álgebra isomorfismo entre el $\mathfrak{so}(V,\beta)$ $\mathfrak{so}(p,q)$ donde $(p,q)$ es la firma de $\beta$.)

Hay un explícito de la caracterización de los elementos de $\mathfrak{so}(p,q)$, que será de utilidad más adelante. Para $p,q \geq 1$, la escritura de un arbitrario $n\times n$ matriz $A$ en forma de bloque como: $$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ donde $a$ $p \times p$ matriz y $d$ $q\times q$ matriz, un cálculo rápido muestra que la condición de $A= - (I_{p,q})^{-1} A^T \, I_{p,q}$ se satisface si y sólo si $a$ $d$ son antisimétrica y $b= c^T$. Al $p$ o $q$ es cero, los elementos de $\mathfrak{so}(p,q)$ son los antisimétrica matrices.

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Ahora que todo está sobre la mesa, podemos probar el siguiente:

Reclamo: la traza de emparejamiento en $\mathfrak{so}(p,q)$ siempre es indefinido cuando se $n=p+q \geq 3$$p,q \geq 1$.

La prueba es la fuerza bruta: se presentan las matrices de $A,B \in \mathfrak{so}(p,q)$ tener $\tr(A^2) <0$$\tr(B^2) > 0$, respectivamente.

Desde $p+q \geq 3$, al menos uno de $p$ o $q$ es mayor que $1$. Supongo que es $p$ (el otro caso se realiza de manera similar). Considere la matriz $A$ que tiene un $2 \times 2$ block $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ en la esquina superior izquierda y $0$ en otros lugares. La anterior caracterización de la muestra que esto es en $\mathfrak{so}(p,q)$$\tr(A^2)=-2$.

Ahora, considere la matriz $B$ a que la entrada $+1$ a las posiciones $(1,n)$$(n,1)$, e $0$ en otros lugares. Esto es en $\mathfrak{so}(p,q)$ y tenemos $\tr(B^2) = 2$.

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En la dimensión 2, o cuando cualquiera de $p$ o $q$ es cero, la respuesta es positiva:

Reclamo : Para $(p,q)= (1,1)$, la traza de emparejamiento es positiva definida. Para $(p,q) = (n,0)$ el seguimiento de emparejamiento es negativa definida.

El $(1,1)$ de los casos se sigue de la anterior caracterización: matrices en $\mathfrak{so}(1,1)$ son de la forma $\left( \begin{smallmatrix} 0 & a \\ a & 0 \end{smallmatrix} \right)$. El $(0,n)$ se sigue de que el resultado de este post: para cualquier matriz antisimétrica $A$ tenemos $\tr(A^2) \leq 0$ con igualdad si y sólo si $A=0$.