Grupo de Picard de una suave curva proyectiva

Question

Tengo dos preguntas (relacionadas) con respecto al grupo de Picard:

¿1) existen ejemplos de curvas proyectivas lisas con Picard grandes grupos (decir $Pic(X)\simeq\mathbb{Z}^n)$ para cualquier $n$)?

¿2) en general, podemos decir lo que es el grupo de Picard para una suave curva proyectiva del género $g$? Estaba tratando de calcular la secuencia exponencial, pero absolutamente no puede hacerlo funcionar ya que no sé el mapa $H^1(X,\mathcal{O}^*)\to H^2(X,\mathbb{Z})$.

Answer 1

Sobre un campo algebraico cerrado, ver comentario de Qiaochu. Sobre un campo de número, siempre es un Grupo abeliano finitamente generado. Si $g=1$ y el campo base es un campo determinado, entonces se cree existen curvas elípticas de la fila arbitrariamente grande, pero esto se desconoce (I) creo que el mayor rango conocido en $\mathbf Q$ es 28 por Elkies.