¿$f:\bf S^1 \to \bf R$, hay uncountably muchos pares de puntos distintos $x$ y $y$ $\bf S^1$ tal que $f(x)=f(y)$? (NBHM-2010)

Question

Que $\bf S^1$ denota el círculo unidad en el plano $\bf R^2$. ¿Verdadero o falso?

Cada función continua $f:\bf S^1 \to \bf R$, hay uncountably muchos pares de puntos distintos $x$ y $y$ $\bf S^1$ tal que $f(x)=f(y)$

Borsuk Ulam o tomando la función $g(x)=f(x)-f(-x)$, IVT implica que existen $x$ tal que $f(x)=f(-x)$. Pero soy incapaz de demostrar la existencia de uncountably muchos pares. Creo que el hecho $RP^1 \cong \bf S^1$ puede ser útil. ¿Alguna idea?

Answer 1

Si $f$ es constante esto es obviamente cierto.

En caso contrario, elija puntos $a,b \in \Bbb S^1$ tal que el $f(a)\ne f(b)$ y "dividir el círculo" en $a$, que $f$ en un mapa continuo $[a,a+2\pi] \to \Bbb R$ $f(a)=f(a+2\pi)\ne f(b)$ $b\in(a,a+2 \pi)$. Entonces para cualquier valor de $M$ estrictamente entre $f(a)$y $f(b)$, el teorema del valor intermedio nos da la existencia de $x \in (a,b)$ y $y \in (b,a+ 2\pi)$ tal que $f(x)=f(y)=M$. Desde $f(a)\ne f(b)$, hay uncountably muchos tal valores $M$ y por lo tanto dichos pares, por lo que la proposición es verdadera.

Answer 2

Aquí es "casi" el mismo solución a partir de @Anthony Carapetis escrito en forma ligeramente diferente:

Asumir $f$ no es constante. $\bf {S}^1$ Está conectado y compacto así que $f(\bf S^1)=[a,b]. $ Supongamos que pre imagen de algún $y \in (a,b) $ consiste en un único punto, decir $x$. Luego se conecta $f( \bf {S}^1 / {x})$. ¡Contradicción!